148 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
. 22) = f(«) 
0 eo ie («) 
Diese Gleichung giebt das Reciproecitätsgesetz unter den beiden pri- 
mären Primzahlen f(«) und $(«), deren erste eine complexe Primzahl der 
ersten Artist, und die andere $(«) eine Primzahl, welche der einen in der 
Gleichung (5.) enthaltenen Bedingung unterworfen ist, dafs 
e(«) Fe)\ rn eh 
(9.) (; =) ee («) p 
sein wufs. 
Wenn nun (a) ebenfalls eine complexe Primzahl der ersten Art ist, 
also Einheiten e(«) existiren, für welche Br nicht gleich Eins ist, so 
kann man, welchen Werth auch A habe, die Einheit e(«) in der Regel 
so wählen, dafs die Bedingung (9.) erfüllt wird, woraus folgt, dafs in der 
Reciprocitätsgleichung (8.) die Primzahl $(«) eine jede primäre Primzahl der 
ersten Art darstellt. In einem ganz besonderen Falle jedoch wird durch die 
Bedingung, welcher die Determinante D(«) unterworfen ist, dafs D(«)— 1 
durch g aber nicht durch p° theilbar sein soll, eine Ausnahme begründet. 
Der primäre Faktor der Determinante: f(«)” hat als solcher die Eigenschaft 
einer nichteomplexen Zahl congruent zu sein, nach dem Modul 5°; ferner, 
wenn die Einheit e(«) in die Form «a's(«) gesetzt wird, wo e(«) eine, nur 
‚a’+a”, ... enthaltende Einheit ist, 
welche Form einer jeden Einheit in « gegeben werden kann, so hat auch 
die zweigliedrigen Perioden «+ «7 
e(«) die Eigenschaft, einer nichtcomplexen Zahl congruent zu sein, nach dem 
Modul 9°; da aber D(«) diese Eigenschaft nicht haben darf, so folgt, dafs 
«a* dieselbe Eigenschaft nicht haben darf. Es ist aber « =1 — kg, mod. p*, 
woraus folgt, dafs X nicht durch o theilbar, oder was dasselbe ist, % nicht 
gleich Null sein darf. Wenn nun die Primzahl ®(«) die ganz besondere 
Eigenschaft hat, dafs für dieselbe alle aus den zweigliedrigen Perioden ge- 
bildeten Einheiten e(«) Ate Potenzreste sind, und wenn zugleich auch f(«) 
ein Ater Potenzrest von $(«) ist, so ist die Bedingung ($.) nicht zu befrie- 
digen, weil in e(«)—«e(«) die Zahl k nicht gleich Null sein darf, es folgt aber 
auch, dafs diefs der einzige Ausnahmefall ist. Es ist indessen leicht auch für 
diese besonderen Pen (a) die Gültigkeit derReciprocitätsgleichung (8.) 
zu erschliefsen. Weil nämlich dieser Ausnahmefall niemals eintritt, sobald 
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