und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahlist. 149 
‚f««) ein Nichtrest von $(«) ist, so zeigt die Gleichung ($.) zunächst, dafs, 
wenn eine der beiden Primzahlen der ersten Art ‚f(«) und $(«) ein Nichtrest 
der anderen ist, auch diese andere Nichtrest der ersten sein mufs, und hier- 
aus folgt sodann, dafs wenn die eine Rest der anderen ist, auch die andere 
Rest der ersten sein muls; denn wäre die zweite ein Nichtrest der ersten, so 
müsste auch die erste ein Nichtrest der zweiten sein. Die Beschränkung 
der Determinante, dafs D(«) — 1 nicht durch 9° theilbar sein darf, begrün- 
det also keine Ausnahme in der Allgemeingültigkeit des Reciprocitätsgesetzes 
(8.) für je zwei beliebige complexe Primzahlen der ersten Art, und man hat 
das Resultat: 
(l.) Wenn (a) und #(«) zwei primäre complexe Prim- 
zahlen der ersten Art sind, so besteht unter ihnen das Reci- 
one 
Wenn nun zweitens die Primzahl $(«) in der Gleichung (8.) eine 
procitätsgesetz: 
complexe Primzahl der zweiten Art ist, für welche alle Einheiten Ate Po- 
tenzreste sind, so folgt aus der Gleichung (9.), dafs 9(«) die Bedingung 
_ = 1 erfüllen mufs, und dafs, wenn diese Bedingung erfüllt ist, die 
Reciprocitätsgleichung (8.) Statt hat. Man hat also folgenden Satz: 
(I.) Wenn eine primäre complexe Primzahl der ersten 
Art, f(«e), ein Ater Potenzrest einer primären complexen Prim- 
zahl der zweiten Art, d(a) ist, so ist auch d(e) ein Ater Po- 
tenzrest von f(«e). 
Dafs die Umkehrung dieses Satzes ebenfalls richtig ist, kann aus dem 
Vorhergehenden noch nicht erschlossen werden. 
Um nun die Reciprocitätsgesetze auch für die Fälle, wo von den bei- 
den zu vergleichenden Primzahlen die eine der ersten Art, die andere der 
zweiten Art angehört, und wo beide der zweiten Art angehören, vollständig 
zu entwickeln, wende ich complexe Zahlen in z an, deren Determinante 
zwei verschiedene Primfaktoren ‚(«) und f,(«) enthält, für welche also 
Dee) = e(a) f(«) »e,(a) f,(«) 
ist. Es sollen auch hier f(«) und f, («) als primär angenommen, und m und 
