und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 153 
Die erste Folgerung, welche ich aus der Gleichung (20.) ziehe, ist 
die, dafs, wenn (2) nicht gleich Eins ist, z’ nicht congruent Null sein 
kann; da nämlich nach der Voraussetzung i nicht congruent Null ist, so ist 
auch ( a) nicht gleich Eins und darum z’ nicht congruent Null. Also 
wenn f,(«) Nichtrest von f(«) ist, so ist auch f(«a) Nichtrest von f,(«). Die 
Gültigkeit dieses Schlusses hängt jedoch davon ab, dafs man immer eine 
Primzahl $(«) der ersten Art finden kann, für welche eine beliebig gegebene 
Primzahl f(«) der zweiten Art Nichtrest ist, welches Postulat Gchhjeniäen 
vollständig analog ist, dafs zu jeder gegebenen Primzahl der Form 4n +4, 
eine Primzahl der Form 4n +3 gefunden werden kann, in Beziehung auf 
welche jene quadratischer Nichtrest ist, welches Legendre in seinem Beweise 
des quadratischen Reciprocitätsgesetzes gemacht und unbewiesen gelassen 
hat. Aus dem im $. 16. bewiesenen Satze (I.) folgt aber fast unmittelbar, 
dafs es stets unendlich viele Primzahlen 9 («) giebt, welche dieser Forderung 
genügen. Betrachtet man nämlich in diesem Satze nur zwei gegebene, wirk- 
liche complexe Zahlen, und nimmt für die eine eine Einheit E(«), für die 
andere aber f(«)”, so zeigt derselbe, dafs es unendlich viele Primzahlen $(«) 
von der Art giebt, dafs | 
(2 k a fe)\mk __ BEN EEN 
d(@) j de) 
ist, wocundc, beliebig gegebene Zahlen sind, und % nicht durch A theil- 
bar. Wählt man also c und ebenso auch c, nicht durch A theilbar, so ist 
E(«) 
Ei nicht gleich Eins, also $(«) eine Primzahl der ersten Art, und auch 
nicht gleich Eins, wodurch die Existenz unendlich vieler, der For- 
derung entsprechender Primzahlen bewiesen ist. Die somit streng bewie- 
sene Folgerung: wenn eine Primzahl der ersten Art Nichtrest einer Prim- 
zahl der zweiten Art ist, so ist auch diese Nichtrest von jener, bildet die 
Ergänzung des Satzes (II.) und giebt folgenden vollständigeren Satz: 
(UI.) Wenn von zwei primären complexen Primzahlen, 
deren eine der ersten, die andere der zweiten Art angehört, 
die eine Ater Potenzrest der andern ist, so ist auch diese Ater 
Potenzrest von jener. 
Math. Kl. 1859. U 
