154 Kunmer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Um nun für den gegenwärtigen Fall, wo die eine der beiden zu ver- 
gleichenden Zahlen der ersten Art angehört, die andere aber der zweiten 
Art, das Reciprocitätsgesetz auch für die A— 1 verschiedenen Klassen der 
Nichtreste in derselben einfachen Form zu erhalten wie im ersten Falle, 
zeige ich, dafs in der Gleichung (20.) nothwendig i=i’ sein mufs. Zu 
diesem Zwecke wende ich die eine Reciprocitätsgleichung an, welche die 
Kreistheilung gewährt, nämlich folgende: 
u b(e 3 0% a7 a Ss 
2) KG 
in welcher #(«) ein complexer Primfaktor der Primzahl p von der Form 
nA--1 ist, ‚f(«) ein complexer Primfaktor der Primzahl q, welche zum 
Exponenten f gehört, nach dem Modul A, ef=?— 1 und y eine primitive 
Wurzel von A, so dafs ‚f(a), ‚f(«”) Be) die e verschiedenen idealen 
Primfaktoren des q sind. Man sehe die Abhandlung von Eisenstein in 
den Monatsberichten der Akademie vom Mai 1850. 
Ich wähle nun die Primzahl & % in der Gleichung (22.) so, dafs die 
e — 1 zu f(«) conjugirten Zahlen f(a”), f(«” or ... f(a) Ate Potenzreste 
für $(«e) sind, die Zahl f(«) selbst aa ein Nichtrest von $(a). Dafs es 
stets Primzahlen $ («) giebt, welche diesen Bedingungen genügen, folgt un- 
mittelbar aus dem Satze (1.) $. 16., wenn in demselben für F(«), F (a), ... 
die e wirklichen complexen Zahlen fie)’, f(a’) , ... f(a’)' und irgend 
eine Einheit E(«) genommen, und die Zahlen, welchen die Indices dersel- 
ben proportional sein sollen, mit Ausschlufs des Index von f(«) und des 
Index der Einheit E(«) alle gleich Null gewählt werden. Wenn die Prim- 
zahl #(«) in dieser Weise bestimmt ist, so erfüllt sie die eine Bedingung: dafs 
die Norm derselben eine nichtcomplexe Primzahl p von der Form nA +1 
sei, von selbst; denn die nichtecomplexe Zahl g=f(«) f(@’) ..... el 
ist ein Nichtrest von $(«) und eine nichteomplexe Zahl kann nur für solche 
complexe Primzahlen Nichtrest sein, welche zum Exponenten Eins gehören, 
das heilst deren Normen Primzahlen der Form 2? + 1 sind. 
Wenn nun die complexen Primzahlen f(«”), fi) ar fu) Ate 
Potenzreste von $(«) sind, so ist nach dem Satze (III.) auch umgekehrt &(«) 
ein Ater Potenzrest für jene, und die Gleichung (22.) giebt, wenn für die 
