und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahlist. 155 
Legendreschen Zeichen, deren Werth gleich Eins ist, dieser Werth 
gesetzt wird: 
b(&) ) 
ce re) = Ge): 
Für eine solche speciell bestimmte Primzahl $(«) ist also in der Gleichung 
(20.)=i' und weil i und i' für alle complexen Primzahlen # («) der ersten 
Art, für welche f(«) ein Nichtrest ist, dieselben Werthe haben müssen , so 
folgt, dafs für alle diese ebenfalls i = i’ oder 
(2 a (+2 i 
p(a) fa) ? 
woraus unmittelbar folgt, dafs auch 
D) fÜ)\ _ (PO 
eu) 5) (Fe 
ist, wodurch dieses einfache Reciprocitätsgesetz für die verschiedenen A — 1 
Klassen der Nichtreste bewiesen ist. Da dasselbe nach dem Satze (III.) für 
die Reste bereits fest steht, so hat man den allgemeineren Satz: 
(IV.) Wenn von zwei primären complexen Primzahlen 
$(a) und f(«) die eine der ersten Art, die andere der zweiten 
Art angehört, so besteht unter denselben das Reciprocitäts- 
gesetz: 
(20) = (102). 
P(@) fe) 
Es bleibt nun noch übrig, das Reciprocitätsgesetz auch für den drit- 
ten Fall zu entwickeln, wo die zu vergleichenden primären Primzahlen f(«) 
und #(«) beide der zweiten Art angehören. Nimmt man zu diesem Zwecke 
in der Congruenz (18.) p(«) als eine primäre Primzahl der zweiten Art, so 
hat man, weil das Reciprocitätsgesetz für zwei primäre complexe Primzahlen, 
deren eine der ersten die andere der zweiten Art angehört, gültig ist: 
Fa, _ (If) FON 27 
=, = 
also 
(26.) i=üi, K,=K ımod.‘. 
Die Congruenz (18.) giebt daher, weil ö nicht = 0 ist: 
K' =K, mod.A, 
U2 
