156 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
und mithin 
9 FON _ (do) 
@7.) (4) = 
welches Resultat für jede complexe Primzahl der zweiten Art #(«a) gültig ist, 
die der Bedingung Go — 1 genügt. Diese Bedingung giebt, weil in Be- 
ziehung auf $(«) als Primzahl der zweiten Art jede Einheit ein Ater Potenz- 
rest ist: 
(28.) (2) «ey 
welcher man durch passende Wahl der Zahlen m und m, immer genügen 
kann, wenn keines der beiden Zeichen En und \- ) den Werth Eins 
hat. Wenn man also die Primzahl Mr Een Art f,(«) so wählt, dafs 
EN chi gleich Eins ist, und dafs auch 4) nicht gleich Eins ist, so 
pP (a) K @) o 
gilt unter den beiden Primzahlen der zweiten Art f(«) und $(«) das Reei- 
procitätsgesetz (27.) für den Fall, dafs die eine Nichtrest der andern ist; 
wenn dasselbe aber für die Nichtreste besteht, so folgt von selbst, dafs es 
auch gelten mufs, wenn die eine Primzahl Rest der andern ist. Es bleibt 
also nur noch zu zeigen, dafs man, wie auch die beiden Primzahlen der 
zweiten Art f(«) und $(«) gegeben sein mögen, stets eine Primzahl der ersten 
Art finden kann, welche Nichtrest von f(«) und auch Nichtrest von $(«) ist. 
Wählt man in dem Satze (I.) $. 16. für F(«), F,(«) ... die wirklichen com- 
plexen Zahlen f(«)', $(«)' und eine Einheit E(«), so zeigt derselbe unmit- 
telbar, dafs es Primzahlen der ersten Art ‚f,(«) giebt, für welche ‚f(«) und 
®(«) Nichtreste sind, und hieraus folgt nach dem Satze (IV.), dafs auch um- 
gekehrt diese Zahlen f,(«) sowohl für f(«), als auch für #(«) Nichtreste 
sind. Somit ist die Gültigkeit des einfachen Reeciprocitätsgesetzes auch 
für je zwei Primzahlen der zweiten Art bewiesen, und man hat den Satz: 
(V.) Wenn zwei primäre complexe Primzahlen f(«) und 
$(«a) beide der zweiten Art angehören, so besteht unter den- 
selben das Reciprocitätsgesetz: 
Fo _ (do 
9a)/ TI," 
