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von zu specieller und im Zusammenhange damit von zu verwickelter Natur 
gewesen sind, um die Möglichkeit einer gesetzmäfsigen Behandlung dieser 
Fragen erkennen zu lassen. In der That geht aus diesen Untersuchungen 
zwar hervor, welche Gröfsen — nämlich die Seiten und ihre Azimuthe 
an den Ecken — zur vollständigen Kenntnifs eines geodätischen Dreiecks 
erforderlich sind, aber nicht, welche mit diesen Gröfsen verbundenen 
Functionen eingeführt werden müssen, um zu den Grundformeln für eine 
Trigonometrie beliebiger krummer Oberflächen zu gelangen. 
Ich betrachte es nun als das Hauptresultat der folgenden Unter- 
suchungen, dafs, ebenso wie die Lehre von den nach dem Newton’schen 
Gesetze wirkenden Anziehungskräften von einer einzigen Function, dem 
Potential abhängt, die Geodäsie einer beliebigen krummen Oberfläche auf 
die Theorie einer einzigen Function von vier Variabeln zurückkommt, 
welche ich die reducirte Länge eines geodätischen Bogens nenne 
und durch 0 0, bezeichne, wenn o und o, die Endpuncte dieses Bo- 
sens sind. 
Ist diese Gröfse als Function der Coordinaten von o und o, be- 
stimmt, so liefern meime Untersuchungen unmittelbar die endlichen For- 
meln für sämmtliche Winkel nnd Azimuthe eines geodätischen Dreiecks, 
und die vollständigen Differentiale dieser nämlichen Grölsen so wie der 
drei Seiten (Abschnitt IV. art. 23). 
Diese Function wird, mit Ausnahme eines besonders zu erledigenden 
Falles, aufser den zugehörigen Grenz- und Stetigkeitsbedingungen durch 
eine partielle Differentialgleichung dritter Ordnung bestimmt, welche nicht 
linear ist, und demnach bei dem gegenwärtigen Standpuncte der Lehre 
von den partiellen Differentialgleichungen allerdings einer allgemeinen 
Behandluug kaum zugänglich sem wird. Gleichwohl dürften sich auf dem 
durch die gegenwärtigen Untersuchungen eröffneten Wege selbst für die 
Ableitung von angenäherten Resultaten Vortheile darbieten, wenn man, 
statt auf diese Differentialgleichung, direkt auf das System von Gleichungen 
operirt, aus welchem sie hervorgeht (Abschn. III. art. 20. A. B. ©). 
Die Function (0 0,), welche hier reducirte Länge genannt wird, ist 
nun, bis auf die Variabeln, von denen sie abhängt, nichts anderes als 
die Gröfse, welche Gaufs (l. e. XIX) durch m bezeichnet, und von wel- 
cher beim Übergange von beliebigen Coordinaten p, q zu geodätischen 
