Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 121 
Polarcoordinaten r, $ (art. XXI) beiläufig bemerkt wird, dafs man sie 
ebenfalls erhalten kann, sobald r und $ als Functionen von p und q 
bestimmt sind. Hierzu ist nur die Integration zweier partiellen Differen- 
tialgleichungen der ersten Ordnung erforderlich, von denen die eine in 
den Derivirten vom zweiten Grade, die andere linear ist. Weingarten 
hat zuerst bemerkt (Borchardt’s Journal LXI. pag. 63), dafs die erste 
von diesen Gleichungen mit derjenigen übereinstimmt, von welcher in 
der Jacobi-Hamilton’schen Theorie die Bestimmung der geodätischen 
Linien abhängig gemacht wird, und man aus einer sogenannten vollstän- 
digen Lösung derselben eine vollständige Lösung der zweiten Gleichung 
erhält, indem man nach der willkürlichen Constante differentürt und mit 
einer neuen Constante multiplieirt. 
Es kann demnach den Anschein haben, als ob durch die Zurück- 
führung von m auf eine nicht lineare partielle Differentialgleichung dritter 
Ordnung die Einfachheit der Bedingungen ohne Noth geopfert werde. 
Dies ist indessen nur solange der Fall, als man, wie am angeführten 
Orte, statt der beiden Endpuncte o und o, nur den ersten und das Azi- 
muth der geodätischen Linie 00, in ihm als gegeben betrachtet. Will 
man die unter dieser Voraussetzung gefundenen Resultate für den Zweck 
der gegenwärtigen Untersuchung brauchbar machen, so muls m als Function 
der Coordinaten von o und o, dargestellt, also das Azimuth in o eliminirt 
werden, und dies wird gerade durch die erwähnte Differentialgleichung 
dritter Ordnung geleistet. 
Zu dieser und den übrigen Differentialgleichungen, welche sich in 
den folgenden Untersuchungen darbieten, gehören Stetigkeitsbedingungen, 
welche aus der Lehre von den geodätischen Linien abgeleitet werden 
müssen. Aus diesem Grunde wurde es nothwendig, die Bedingungen, 
welche zum Verschwinden der ersten Variation eines Bogens erforderlich 
sind, vollständig herzustellen. Dieselben bestehen 1) in der bekannten 
Differentialgleichung und 2) in den Stetigkeitsbedingungen, welche erfor- 
derlich sind, damit der vom Integralzeichen freie Theil der ersten Varia- 
tion für sich —= 0 werde. Untersuchungen über die zum Verschwinden 
dieses Theiles der ersten Variation erforderlichen Stetigkeitsbedingungen 
und die mit demselben verträglichen Unstetigkeiten habe ich bisher 
Math. Kl. 1868. Q 
