Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 129 
mithin 
dds = 9 [cos (d— 9) dr] — dp .. de cos d — dq.dy cos (w — 6) 
+ [sin @—9) cosß8loge-+sinBeos(»—5) 3 1ogg—sin sin (au! es 
Soll nun die Verbindungslinie s zweier festen Puncte 0, o, eine geodätische 
sein, so muls das von o bis o, erstreckte Integral dieses Ausdruckes bei 
jeder Wahl von dp, öq verschwinden, durch welche der Zusammenhang 
der Verbindungslinie nicht aufgehoben wird. Daraus folgt zunächst 
decosd ogeos(w-8)  sin(u-#)cosd sindeos(w-8) . sindsin(w—5), 
ig. ds x ös sin w az sin w Slogg Be 
für jedes dp, dq. 
Ist diese Bedingung erfüllt, so wird die Variation des Bogens 00;: 
ds = [cos d — 9) de], 
. [) 
wo die Zeichen an den Klammern andeuten, dafs man zu den Grenzen 
der Integration übergehen soll. An diesen Grenzen ist dr—=o. Aber 
dies reicht zum Verschwinden des vorstehenden Ausdruckes nicht aus, 
sondern es ist hierzu noch aufserdem erforderlich, dafs cos (Y — 6) dc 
zwischen den Grenzen stetig sei, und zwar für jede zulässige Variation 
der Linie 0 o.. 
Wir legen nun, wo s eine Kante der Oberfläche überschreitet, & 
in dieselbe, und nehmen dr und W allenthalben stetig an, wodurch mit 
Rücksicht auf die stetige Richtungsänderung der Linien dq = 0, von 
denen aus das Azimuth % gezählt wird, alle bei der Variation zu berück- 
sichtigenden Bedingungen in hinreichender Allgemeinheit befriedigt sind. 
Dann erkennt man sofort, dafs zum Verschwinden der ersten Variation 
noch die. Stetigkeit von 9 an s entlang erforderlich ist. Da nun nach 
art. 1 der eine Schenkel edp von 5 stets einer Kurve angehört, welche 
kein Linienelement von S anders als unter beiderseits gleichen Scheitel- 
winkeln schneidet, so gilt dasselbe auch vom andern Schenkel ds. 
Eine geodätische Linie ändert daher,. solange S stetig 
gebogen ist, ihre Richtung ebenfalls nach der Stetigkeit, und 
bildet beim Übergange über eine Kante von S mit derselben 
beiderseits gleiche Scheitelwinkel. 
Math. Kl. 1868. R 
