Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 151 
Gröfsen als Coordinaten des Punctes 0,, so entspricht der Gleichung 
o$ —= 0 die Schaar aller von o ausgehenden geodätischen Linien, und 
der Gleichung dr — o das System aller geodätischen Kreise, deren Cen- 
trum der feste Punct o ist. 
Von diesen beiden Kurvenschaaren hat nach dem vorigen art. die 
erste, und weil beide sich unter rechten Winkeln durchdringen, auch die 
zweite die in art. 1 von den Kurvenschaaren dp = 0, dq = 0 geforderte 
Eigenschaft, kein Linienelement von S anders als unter beiderseits gleichen 
Scheitelwinkeln zu schneiden. 
Wir zählen nun auf jedem geodätischen Kreise von dem 9 = 0 
entsprechenden Puncte aus Bögen v, die auf allen Kreisen in der näm- 
lichen Richtung wachsen, und wählen diese Richtung so, dafs sie für 
unendlich kleine Werthe von » mit der Richtung der wachsenden $ über- 
einstimmt. Dann wird für jeden geodätischen Kreis eine Function 
von d, und wenn ihre Derivirte 
dr 
a 
gesetzt wird, m der Factor, mit welchem man den Centriwinkel d$ multi- 
plieiren mufs, um das ihm gegenüberliegende Element ds des geodätischen 
Kreises vom Halbmesser r zu erhalten. 
Diese Gröfse m nennen wir, was sich durch die Eigenschaften der- 
selben (Zweiter Abschn., art. 9 und dritter Abschnitt) rechtfertigen wird, 
die reducirte Länge des geodätischen Bogens r, und bezeichnen 
sie, wo das Centrum o vom beschreibenden Puncte o, unterschieden 
werden mufs, durch 
(0 0,), 
so dafs also (0, 0) die reducirte Länge von r unter der umgekehrten 
Voraussetzung sein wird, dafs r sich um o, als festen Endpunct dreht, 
und der vorhin unbewegliche Punct 0 einen geodätischen Kreis beschreibt. 
Jedem bestimmten Werthe von r entspricht ein endlicher Werth 
von m, und beide ändern sich zugleich nach der Stetigkeit. Würde näm- 
; de. > " ale 
lich m = - 5 irgendwo unendlich, so mülste dort entweder der geodätische 
oc 
Kreis den Leitstrahl r berühren, statt ihn senkrecht zu schneiden, oder 
es würde die geodätische Linie r von einer unendlich benachbarten in o 
R2 
