Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 141 
Der erste Fall führt für jedes Azimuth auf zwei Bedingungen, von 
denen aber nach der eben gemachten Bemerkung die eine identisch er- 
füllt ist. Die andere darf nur für ein Azimuth, z. B. für U,, aufgesucht 
werden, da die entsprechende sich für U; offenbar durch Vertauschung 
von 9, da, mit ß, da; ergibt. 
II. 
Er Tun ergeben, 
eimander gleich, so erhält man zunächst eine ziemlich verwickelte Formel, 
Setzt man die beiden Ausdrücke, welche sich für 
die wir übergehen, da sie auf ein bereits von Gaufs (D. g. XIX) gege- 
benes Resultat führt. Durch Reduction dieser change, mittelst der 
Formeln (b.) des vorangehenden art. 8 ergiebt sich nämlich 
1 9°(a) 1 d |9 sin fı1l od |9 sinv il u 
Sagen ea al) > 
wo im zweiten Summanden der Index y weggelassen ist. 
Mit Rücksicht auf eine Formel des art. 2 führen wir nun eine 
neue Gröfse k ein, so dafs 
BRD a uk 9 [gsinw (21\ | _ 9 [esine (22) | _ 9 fesin= (12) 
N Tee) ee er ee re 3 
wird, wodurch die RE Differentialgleichung die Form 
a —+ k,(a) = 0 
annımmt. 
Transformirt man aber das Linienelement, indem man durch eine 
ganz beliebige Substitution zwei neue Variabeln p’, q’ an Stelle von p, q 
einführt, so dafs 
0’ e’ dp" —+2 eg’ cosw dp dag —+ g” og” 
wird, so mufs man für die, von der Wahl eines speciellen Coordinaten- 
1 09°(a 2) 
(a) da; 
k,, erhalten, nur dafs überall, wo e, 9, w, 0p, dq steht, die entsprechen- 
systems p, q unabhängige Grö 
genau denselben Ausdruck 
den accentuirten Grölsen erscheinen. 
Folglich ist k eine absolute Invariante, und man kann ihren 
Werth sofort bestimmen, indem man den Ursprung der rechtwinkligen 
Coordinaten &, y, z nach y verlegt, P —=x, ’—=y und bis auf Gröfsen 
dritter Ordnung 
