146 ÜHRISTOFFEL: 
Dritter Abschnitt. 
Theorie der redueirten Länge eines geodätischen Bogens. 
14. 
Wird eine krumme Oberfläche ohne Dehnung, also ohne Änderung 
ihrer Linienelemente, beliebig gebogen, so bleibt in jedem Puncte der- 
selben das Krümmungsmals ungeändert (Disqu. g. ce. s. X), weil der 
Ausdruck desselben nur von dem des Linienelementes abhängt. Da bei 
einer solehen Umbiegung auch jede geodätische Linie eine solche bleibt, 
so folgt nach der Definition der reducirten Länge, dafs auch diese bei 
der Umbiegung der Oberfläche ungeändert bleibt. Nennt man daher bei 
aufeinander abwickelbaren Flächen entsprechende Elemente solche, die 
bei der Abwickelung zur Deckung kommen, so folgt der Satz: 
Zwei aufeinander abwickelbare Flächen haben in ent- 
sprechenden Puncten das gleiche Krümmungsmals (Gaufs 1. e.), 
und entsprechende geodätische Bögen haben dieselbe redu- 
eirte Länge. 
Da der Ausdruck für das Krümmungsmafs denjenigen des Linien- 
elementes nicht bestimmt, so läfst der erste Theil dieses Satzes sich nicht 
umkehren; wohl aber gilt die Umkehrung des zweiten Theorems: 
Kann man die Puncte zweier Flächen einander in der 
Weise als entsprechende zuordnen, dafs die reducirte Länge 
der geodätischen Verbindungslinie von zwei Puncten der ersten 
Fläche stets dieselbe ist wie für die entsprechenden Puncte 
der andern, so lassen sich diese Flächen aufeinander abwickeln, 
und es kommen hierbei stets entsprechende Punete zur Deckung. 
Nimmt man nämlich in den vorletzten Gleichungen des art. 10 
den Punet y so nahe beim festen Puncte ß an, dafs a, — a; als eine 
sehr kleine Gröfse erster Ordnung bezeichnet werden kann, so wird die 
reducirte Länge dieses Bogens vermöge der Differentialgleichung bis auf 
Gröfsen dritter Ordnung genau: (a)—= a, — a;. Weil aber diese 
Gröfse, wenn a, — a; unendlich klein wird, in das Linienelement zwischen 
