Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 147 
den unendlich benachbarten Puncten £, y übergeht, so mufs man durch 
intwickelung der Function («)* — wenn die Coordinaten von B und y 
durch ?, q und p', q’ bezeichnet werden — einen Ausdruck von der Form 
a EWR) aetp ma 0 6 gg) 
erhalten, der bis auf Gröfsen vierter Ordnung genau ist, und wo die 
Coeffieienten nur noch von den Coordinaten p, q des Punctes 8 ab- 
hängen. Dadurch ist aber das Linienelement gegeben, und sein Quadrat 
es°—= Eodp’ +2 Fopdq—+ @dg’. Folglich ist durch den allgemeinen 
Ausdruck der reducirten Länge eines geodätischen Bogens als Function 
der Coordinaten seiner Endpuncte das Linienelement der entsprechenden 
Oberfläche völlig bestimmt, woraus der obige Satz folst. 
19% 
An Stelle der redueirten Länge werden wir jetzt eine Function 
einführen, welche wir zur Unterscheidung die reducirte Abseisse 
nennen und in folgender Weise definiren. 
Bei den reducirten Längen (8y), (y®) war vorausgesetzt, dafs 
man auf einer gegebenen geodätischen Linie B von einem beliebigen An- 
fangspuncte aus Abseissen » zähle, die in der Richtung von @ nach y 
hin wachsen. Dadurch war, bei unveränderlicher Lage von ®, der Punct y 
auf den Theil » > a; von B beschränkt, und unter dieser Voraussetzung war 
.n — k (8 Y) =0, 
und für 
Ne ey) _ 
(By) = 0, aus 1. 
el: 
Wir heben diese Beschränkung der Abscisse r auf, und lassen die 
vorstehende Differentialgleichung, ohne Änderung in den Grenzbedingungen, 
für alle mit den Stetigkeitsbedingungen (art. 4) verträglichen reellen Werthe 
von r bestehen. 
Die so entstehende Function von ” nennen wir die reducirte Ab- 
seisse von y in Bezug auf ® als Anfangspunct, und bezeichnen sie, wenn 
r;, r, die Abscissen dieser Puncte sind, durch 
ber; 
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