Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 151 
man kann alsdann nur schliefsen, dafs es noch andere durch die Function 
[«'6']) nach art. 14 bestimmte Oberflächen $ giebt, auf denen S’ abwickel- 
bar ist, ohne sie ganz zu bedecken, und welche auf ihrem unbedeckten 
Theile zu jenem reellen Werthe £' auch den entsprechenden realen Punet 
darbieten. 
18. 
Dieses so verstanden, ist es z. B. nach dem Jacobi’schen Kriterium 
für die kürzesten Linien klar, dafs die Linie ® nur solange eine kürzeste 
Verbindungslinie von r mit « ist, als zwischen r und « kem mit « sich 
ändernder Werth 8 enthalten ist, für den [«@] = 0 ist. 
Sei nun das Krümmungsmals % auf einer den Punet « enthaltenden 
x . . oler CHR 
Strecke von B negativ. Da in « selbst [ar] = o, a — 1, also. positiv 
ist, so wird zu Anfange [«r] mit r zugleich wachsen, folglich [«r] selbst, 
I ler Er a x 
a — — k[er] positiv werden. Solange dies der Fall 
ist, wächst also auch die erste Derivirte, und zwar über ı hinaus, mithin 
und mit ıhm 
[«r] umsomehr, und mit beschleunigter Geschwindigkeit. Da [ar] in der 
entgegengesetzten Richtung unaufhörlich abnimmt, solange A negativ ist, 
so folgt der Satz: 
Zwei unendlich benachbarte geodätische Linien können sich von 
ihrem Eintritt in ein Flächenstück von negativem Krümmungsmalse bis 
zum nächsten Austritte aus demselben niemals in mehr als einem Puncte 
schneiden. 
Mit Rücksicht auf das oben erwähnte Kriterium für kürzeste Linien 
folgt hieraus auch der von Jacobi ohne Beweis ausgesprochene Satz 
(Vorlesungen über Dynamik pag. 46): 
Auf einem Flächenstücke von negativem Krümmungsmalse ist jede 
seodätische Linie zugleich eine kürzeste Verbindungslinie ihrer Endpuncte. 
Den Beweis dieser Sätze kann man auch aus der Gleichung 
[ar] A wi sf ni a2) — klar | Ir 
ziehen. Weniger einfach ist die Untersuchung für den Fall, wo das 
Krümmungsmafs positiv ist. 
