153 ÜHRISTOFFEL: 
Ist % positiv, so haben [«r] und seine zweite Derivirte entgegen- 
gesetzte Vorzeichen. Läfst man daher 7 ununterbrochen wachsen, so 
wird die erste Derivirte wachsen oder abnehmen, jenachdem [ar] negativ 
oder positiv ist, während umgekehrt [«r] selbst wächst oder abnimmt, 
jenachdem die erste Derivirte positiv oder negativ ist. Wir haben dem- 
nach vier Fälle zu unterscheiden, zu deren geometrischen Darstellung wir 
3 um den Punet « unendlich wenig drehen, so dafs, wenn 0 der 
Drehungswinkel bei « ist, der Punct r den zu B senkrechten Weg [«r] 0% 
beschreibt, welcher nach derselben oder der entgegengesetzten Seite wie 
0b aufzutragen ist, jenachdem [«r] positiv oder negativ ist, und ein wirk- 
liches Schneiden beider Linien eintritt, wenn [«r] sein Zeichen wechselt. 
Liest r nahe genug bei «, so ist [«r] positiv für » > «, negativ 
für r —.e) m in beiden Fällen positiv. Diese Fälle finden also unter 
allen Umständen wenigstens einmal statt. 
. d ar ... . . 
1) Ist nun [«r] negativ, en positiv, so nehmen beide mit r zu, 
und die Zunahme von [er] ist eine beschleunigte. Findet dies statt auf 
der Strecke r, <r<r,, so wird 
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[er,] > en (,—r,)- [er,], 
und daraus folgt, dals r, nicht jede Grenze überschreiten kann. Denn 
sonst würde, wie weit auch die negative Gröfse [«r,] unter Null liest, 
die rechte Seite der Ungleichheit durch Vergröfserung von 7, positiv ge- 
macht werden können, während sie < [er,], also negativ bleiben muls. 
Wenn man daher im vorliegenden Falle », also auch die positive Gröfse 
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eier] wachsen läfst, so mufs einmal der Fall eintreten, wo die ursprünglich 
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negative Gröfse [«r] gleich Null und hierauf positiv wird. 
Es versteht sich von selbst, dafs diese Schlüsse ihre Gültigkeit 
verlieren, wenn bei wachsendem » das Krümmungsmafs nicht immer po- 
sıtiv bleibt. 
2) Ist nun auch [ar] positiv geworden, so nimmt [«r] noch im- 
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mer zu, en dagegen nimmt ab, und die Zunahme von [«r] ist dem- 
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nach eine verzögerte. Hier sind zwei Fälle denkbar; entweder convergirt 
