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Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 15 
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bei unbegrenzter Zunahme von » — gegen eine positive feste Grenze, 
c 
die auch —= 0 sein kann, und dann verschwindet zuletzt die zweite De- 
rivirte, also auch k[er], d.i. k, weil [@r] nicht abgenommen hat, also 
von Null verschieden ist. Dieser Fall tritt z.B. bei den Meridianen eines 
Rotationsparaboloids ein. — Oder aber es geht —_ durch Null, [er] 
c 
überschreitet ein Maximum, und es tritt der folgende Fall ein. 
.,. d ar . . R 
3) Ist [«r] positiv, an negativ, so nehmen beide ab, während r 
c 
wächst, ersteres mit beschleunigter Geschwindigkeit, und man beweist wie 
im ersten Falle, dafs in Folge dessen [@«r] durch Null gehen mufs. 
4) Ist auf diese Weise auch [«r] negativ geworden, so nimmt seine 
Derivirte wieder zu, [ar] selbst fährt fort abzunehmen, aber mit ver- 
zögerter Geschwindigkeit. „Jenachdem nun, wie im zweiten Falle, die 
Derivirte gesen eine feste Grenze convergirt, die nicht positiv ist, oder 
durch Null geht, wird [@r] im Abnehmen bleiben, oder der erste Fall 
eintreten, der seinerseits wieder den zweiten nach sich zieht. 
Es folgt also, dafs bei positivem Krümmungsmalse eine der ur- 
sprünglichen unendlich benachbarte geodätische Linie, welche jene im 
Puncte « schneidet, im zweiten und vierten Falle an dieser ohne Ende 
entlang laufen kann, ohne sie von Neuem zu schneiden, dafs dagegen auf 
den ersten und dritten Fall nothwendig ein Durchschnitt folgt, ebenso 
wie dem zweiten und vierten nothwendig ein solcher vorangeht. 
Da sich ferner ergeben hat, dafs [«r] und seine erste Derivirte 
sowohl bei positivem wie bei negativem Krümmungsmafse nie gleichzeitig 
verschwinden, so folgt noch, dafs mıt dem Verschwinden von [ar] stets 
ein wirkliches Schneiden, niemals ein Berühren der geodätischen Linien 
verbunden ist. Wenn daher mehr als ein Schnittpunet stattfindet, so 
gehören zwei, bei wachsendem r aufeinander folgende Schnittpuncte nie- 
mals zur nämlichen Art, und es wechselt [«r] beim Überschreiten eines 
Schnittpunctes jedesmal sein Zeichen. 
Math. Kl. 1868. U 
