Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 159 
gesetzt, so haben wir aus der erwähnten Gleichung B. zur Bestimmung 
von m: 
2. Er", 
wozu aufser den Stetiskeitsbedingungen noch die Anfangsbedingung 
VP- 
oO 
hört, dafs, wenn p, q von p,, q, nur noch um unendlich kleine Gröfsen 
erster Ordnung verschieden sind, bis auf Gröfsen vierter Ordnung genau 
€ 2 2 ni = 2 
3. m Bin DB) TH 2) 9.) 0.0 00) 
wird. 
6. Wir setzen nun voraus, dals diesen sämmtlichen Bedingungen 
genügt ist. Dann bestimmen p, q als Functionen von s eine von p,, 4, 
ausgehende geodätische Linie, s wird die Länge des zwischen beiden 
Puneten enthaltenen Stückes dieser Linie und m, wie verlangt, die redu- 
eirte Länge von s. 
Aus ®. 2. folgt durch Differenturen 
4 . 06 06 PRS B 
1. 2(6p +3) "+2 +8) ++ +25) ar. 
op oq op 
" aus M. 1. ihre Werthe einsetzt: 
und wenn man hier für p", q 
| > ' & ' 
2. 2 (Ep +8g) Rıkırı) + 2 (dp + Ög) Rakav:) + ni pP’+..=0 
C 
Diese Gleichung ist, wie B. 2. in p', q’ homogen, aber vom dritten Grade. 
Wenn dieselbe nicht bei beliebigen Werthen der Grölsen A, 1, v identische 
Folge von ®. 2. ist, so kann man aus beiden Gleichungen p’ und gq’ eli- 
miniren; das Resultat dieser Elımmation, 
3. ml, —.0, 
ist die oben erwähnte partielle Differentialgleichung. Zu ihr gehört aufser 
den Stetigkeitsbedingungen noch ®B. 3. als Anfangsbedingung. 
Wenn dagegen die Gleichung 6&. 2. bei beliebigen Werthen der 
Grölsen A, #,v mit B. 2. verträglich ist, so genügen p', q’ mit B. 2. zu- 
gleich den linearen Gleichungen &p' + &g' = 0, pP + 6q = 0. In die- 
sem Falle ist also Ep" + 28p'g—+ ©gq"” ein vollständiges Quadrat, und 
m genügt der partiellen Differentialgleichung 
(3). °—(6= 0. 
Da die Gleichung [m] = 0 jetzt für alle Werthe der sechs Gröfsen 2, u, v 
besteht, so ist sie nothwendige Folge der vorstehenden. 
