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Während also die reducirte Länge m in allen Fällen aufser den 
Anfangs- und Stetigkeitsbedingungen der Gleichung &. 3. genügt, giebt 
es noch Ausnahmefälle, wo sie der einfachern Differentialgleichung (3) 
Genüge leistet, und jene eine Folge von dieser wird. 
D. Wir untersuchen nun die umgekehrte Frage, ob auch jede 
der Gleichung &. 3. und den dazu gehörigen Bedingungen genügende 
Function eine reducirte Länge ist. Damit dies der Fall sei, ist erforderlich 
und hinreichend, dafs mit Zugrundelegung der so bestimmten Function m 
sich auch die in Y. und ®B. gestellten Bedingungen befriedigen lassen. 
Die Gleichung ©. 3. ist die Bedingung dafür, dafs den Gleichungen 
2 BR* 2 f) .: 
8.2. und 6. 2. durch den nämlichen Werth von 7 — = genügt werden 
pP ep 
r 
könne. Wir setzen also voraus, es sei 7 eine Lösung der Gleichung ®. 2., 
durch welche auch ©. 2. befriedigt ist. Setzt man dies in W. 2. ein, so 
sind auch p', q’ bestimmt bis aufs Zeichen, von welchem die Richtung 
der wachsenden s abhängt, und welches auf das Verhältnifs 99 keinen 
Einflufs hat. = 
Durch Differenturen folgt jetzt aus B. 2. die Gleichung ©. 1., und 
wenn man von dieser die bereits befriedigte Gleichung &. 2. subtrahirt 
und den Factor 2 beseitigt 
1. [Ep +8] [P" — Aa r.)] + BP + Sg] la" — Q,%,v,)] = 0. 
Differentiirt man die bei der Bestimmung von p', qg’ benutzte Gleichung 
%.2., so erhält man eine Gleichung von derselben Form wie &. 1., und 
von welcher zu bemerken ist, dals sie nach art. 2 vermöge der Bedeutung 
: 11 B 3 } 
der Coefficienten A, = — | ı) u.s. w. identisch wird, wenn man p", q" 
durch (A,u,v,), (AR, v,) ersetzt. Es ist also auch, sobald p', q’ der 
Gleichung X. 2. genügen, 
2. Er+Fe—- aan) + [PP + og]! — @Aav)] = 0 
Wenn die Determinante 
0 Ep +üf 5+6g 
© 7 Sn +7g Fo a 
dieser beiden Gleichungen nicht —= 0 ist, so sind also auch die Differential- 
gleichungen X. 1. erfüllt, und zwar ist eine einmalige Integration derselben 
