Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 161 
geleistet, indem p', q’ als Functionen von 9», 9, p,, q, erhalten worden sind. 
Bestimmt man also hieraus p, q so, dals sie für s—= 0 in p,, q, über- 
gehen, so sind alle Bedingungen YA. und B. befriedigt, und es ist dann 
namentlich wegen 4. 2. die unabhängige Variable s die Länge einer geo- 
dätischen Linie zwischen p,, q, und p, 9, und m ihre reducirte Länge. 
Wenn dagegen unter der nämlichen Voraussetzung, dafs den Glei- 
chungen U. 2., B. 2. und &. 2. Genüge geleistet ist, A identisch ver- 
schwindet, so sind die Gleichungen 4. 1. nicht mehr eine nothwendige 
Folge der beiden vorstehenden. Man kann in diesem Falle eine Gröfse A 
so bestimmen, dafs Ep’ + &gf'=? (Ep'—+ Fg'), und zugleich &p' + &g' 
=? (Fp—+Gg) wird. Addirt man diese Gleichungen, nachdem man 
die erste mit p', die andere mit g’ multiplieirt hat, so folgt wegen ®. 2. 
und U. 2. o=?, so dafs also, wenn A identisch verschwindet, an Stelle 
von ®. 2. die einfachern Gleichungen Ep + fg = 0, Xp + Gy 
— 0 treten. 
Folglich genügt m in diesem Falle auch noch der Gleichung 
%°—66= 0. Es wird sich weiter unten ergeben, dafs nicht jede 
Function, welche diese Gleichung befriedigt, eine reducirte Länge ist, ab- 
gesehen davon, dafs sich nur in Ausnahmefällen unter den Lösungen dieser 
Gleichung überhaupt reducirte Längen befinden. 
Aus den vorangehenden Untersuchungen ergiebt sich also das fol- 
gende Resultat: Jede Function m, welche aufser den Anfangs- und Ste- 
tigkeitsbedingungen noch der Differentialgleichung &. 3., aber nicht zugleich 
der Gleichung ©. (3). genügt, ist eine reducirte Länge, und es lassen sich 
aus dem Ausdrucke dieser Function mittelst der Gleichungen ®. 2. und 
U. 2. auf algebraischem Wege p' und gq', also das Azimuth U der von 
p,9g, nach pq gehenden geodätischen Linie finden, während es zur Be- 
stimmung ihrer Länge noch einer Integration bedarf. Bei der Bestimmung 
von p', q wird ein Vorzeichen verfügbar, welches bestimmt ist, sobald 
festgestellt wird, ob s von p,q, nach pgq hin, oder in umgekehrter Rich- 
tung wächst. Vergl. art. 13. 
21. 
Die Untersuchung des Ausnahmefalles, welcher sich im Voran- 
gehenden dargeboten hat, stützt sich auf die Bemerkung, dafs der Aus- 
Math. Kl. 1868. RK 
