Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. 165 
also an jedem geodätischen Kreise entlang constant ist, dessen Centrum 
der Punct p,, q, ist. 
Wenn umgekehrt, bei geeigneter oder beliebiger Lage des Punctes 
Ps, 9,, k nur von r, nie von & abhängt, so wird auch die redueirte 
Länge m Function von r allein, und A identisch — 0. 
Bei dieser Beschaffenheit von m zeigt aber der Ausdruck (des 
Linienelementes, dafs die Fläche S ohne Dehnung in eine Rotations- 
tläche umgebogen werden kann, so dafs p,, q, Punct der Drehungs- 
axe wird. 
In diesem Falle verwandeln sich alle von p,, q, ausgehenden geo- 
dätischen Linien in Meridiane, für deren reducirte Längen, weil sie vom 
Azimuth $ unabhängig sind, A= 0 ist, und es giebt daher umgekehrt, 
wenn die Voraussetzungen unserer Untersuchung erfüllt sind, keinen 
von ?,, q, ausgehenden geodätischen Bogen, für welchen A von Null 
verschieden ist. 
Der Fall, dafs die reducirte Länge der Gleichung A —= 0 genügt, 
bietet sich also dar, 
1) bei den Flächen von constantem Krümmungsmalfse für jede 
beliebige Lage des Punctes p,, 9,; 
2) bei jeder andern Fläche, die sich auf eine Rotationsfläche 
abwickeln läfst, wenn man für p,, q, einen derjenigen Puncte wählt, 
o 
welche dabei auf die Drehungsaxe fallen, vorausgesetzt, dafs die 
ursprüngliche Fläche überhaupt einen solchen Punct enthält. 
In allen übrigen Fällen ist, wenn man für m eine redueirte Länge 
nimmt, A von Null verschieden, folglich nicht blofs jede reducirte Länge 
eine Lösung der im art. 19 gefundenen Differentialgleichung 
kalk==e 
nebst den dazu gehörigen Bedingungen, sondern auch umgekehrt jede 
Function, welche dieses System von Bedingungen befriedigt, eine redu- 
cirte Länge. 
Da endlich nicht jede Lösung der Gleichung A = 0 eine reducirte 
Länge ist, sondern nur eine solche, die von $ unabhängig ist, weil nur 
in diesem Falle &, = o wird, so folgt, dafs in den beiden obigen Aus- 
nahmefällen auch die Gleichung A — 0 zur Bestimmung der redueirten 
