52 Kummer: 
nen Klassen angehören. Fährt man auf diese Weise fort, bis alle Klassen 
idealer Zahlen vollständig erschöpft sind, so hat man das vollständige System 
aller nicht äquivalenten Klassen der idealen Zahlen in der Form 
[2 
P(«) a Pd, (a) " P, (a) Da 
für m = 0,1, 2,6 A, m 0, 15,2, 000 2, IM 0 N, Burleni Ai 
u. s. w. und wenn JH die Klassenanzahl bezeichnet, so ist 
H =: hıhuhsıhl sun. 
Die Zahlen A,, A,, A, ... sind nothwendig genaue Theile der Expo- 
nenten zu welchen die idealen Grundzahlen $,(«), ®,(«), ®,(«) .... gehören, 
oder wenn diese Exponenten beziehungsweise durch k,, k,, k, .... bezeich- 
net werden, so ist A, ein Divisor von k,, A, Divisor von k, u.s.w. Um 
dies allgemein zu beweisen sei $, («) die ideale Grundzahl welche zur Potenz 
h, erhoben werden mufs um einer der in der Form #(«a)” ®,(«)”"! .... 
&,_, («)”’-' enthaltenen idealen Zahlen äquivalent zu werden, und %, der 
Exponent zu welchem die ideale Zahl $, («) gehört. Weil #, («) ? einer der 
in der angegebenen Form enthaltenen idealen Zahlen äquivalent ist, so ist klar 
dafs dasselbe mit #, («)”" der Fall sein mufs, für jeden beliebigen Werth der 
Zahl i und weil &,(«)” eine wirkliche complexe Zahl ist, und folglich 
auch $, («)/*- wirklich, dafs auch $, («)'% —k. einer der in der angegebenen 
Form enthaltenen idealen Zahlen äquivalent sein mufs, für alle beliebigen 
ganzzahligen Werthe von i und j. Wenn nun d, der gröfste gemeinschaft- 
liche Faktor von Ah, und k, ist, so kann man die Zahlen i und j so bestimmen 
dafs ih, —jk, =d, ist, es mufs also auch #, («)“ einer der in der angegebe- 
nen Form enthaltenen idealen Zahlen äquivalent sein. Es ist aber die Potenz 
®, («)” die niedrigste für welche diefs Statt hat, also darf d, nicht kleiner als 
h, sein, und da d, der gröfste gemeinschaftliche Theiler von A, und %, ist, 
so mufs d. =A, sein, und k, ein Vielfaches von Ah, , was zu beweisen war. 
Nach den Voraussetzungen des $. 1 enthält die Klassenanzahl 7 den 
Faktor A, es mufs also eine der Zahlen A, h,, Ah, ... durch A theilbar sein. 
Hieraus folgt nun, dafs auch eine der idealen Grundzahlen $(«), P,(&), #,(«) 
. zu einem durch A theilbaren Exponenten gehören mufs, denn dieser Expo- 
nent ist, wie gezeigt worden, ein Vielfaches des betreffenden A. Es giebt also 
ideale Zahlen, welche zu einem durch A theilbaren Exponenten gehören, also 
auch solche, welche zum Exponenten A selbst gehören. Man kann nun die 
