60 Kummer: 
dig ein Divisor der Klassenanzahl H ist, welche nach den Voraussetzungen 
des $. 1 den Faktor A nur einmal enthält. Weil die ideale Zahl x(«) zum 
Exponenten AA gehört, so gehört x(a)’ nothwendig zum Exponenten A, setzt 
man daher $(«) =x,(«)', so hat man 
fie ey 2 
= .a''”", IndE, (ea) = him, mod.?, 
und 
E, («) 
d(«)” 
wo der Index in Beziehung auf den Modul # («)” zu nehmen ist, und m alle 
beliebigen ganzzahligen Werthe haben kann. Wenn nun f(«) irgend eine 
complexe Zahl ist, deren A" Potenz wirklich ist, so ist sie nach dem im $. 3 
bewiesenen Satze einer der A idealen Zahlen 
1, Pla), Pla)’, Pla)’, seen Pla)" 
äquivalent. Es sei also (a) äquivalent #(«)”, so ist nach dem ersten Satze 
des $. 5. 
E,(« E,(« 
( /@) )=- en 
= «’'” oder Ind E,(«) = him, mod.?, 
also auch 
Ela) 
fe) 
wo der Index in Beziehung auf den Modul /(«) zu nehmen ist. Da Ai nicht 
durch A theilbar ist, so ist dieser Index von E,(«) nothwendig congruent 
Null, oder nicht congruent Null, je nachdem m congruent Null oder nicht 
congruent Null ist, welche Bedingung, weil ‚f(«) äquivalent $(«)”, und $(«) 
zum Exponenten A gehört, auch so ausgesprochen werden kann: je nachdem 
‚f(a) eine wirkliche oder eine ideale complexe Zahl ist. Wendet man nun 
den in $. 5 gegebenen Ausdruck des Index von E,(«) an, welcher für den 
Fall, wo f(«)* = F(«) eine wirkliche complexe Zahl ist folgendermaafsen 
dargestellt werden kann: 
)= NEN Br , do 'T?’IF(e”) 
FF Izprssrurn mod. r 
Ind E, (« 
und bemerkt, dafs der erste Faktor auf der rechten Seite, welcher von dem 
Modul f(«) ganz unabhängig ist, nicht congruent Null sein kann, mod. A, 
weil sonst Ind E,(«)=0, mod. A, sein würde, für alle beliebigen Moduln, 
gegen die zweite Voraussetzung des $. 1: so sieht man, dafs Ind E,(«) con- 
gruent Null oder nicht congruent Null ist, mod. A, je nachdem der Differen- 
