66 Kummer: 
wird, dafs 
Ele)? -—a— a —=X' 
ist, welches immer geschehen kann, weil 2 —a—«a'), abgesehen von 
einer Einheit, gleich A ist. Aufserdem ist von den drei complexen Zahlen 
U, V und W anzunehmen, dafs keine derselben durch ı — «, den Prim- 
faktor des A, theilbar ist, und von der Zahl m, dafs sie gröfser als Eins ist. 
Der Beweis der Unmöglichkeit dieser allgemeineren Gleichung wird daher 
nothwendig auch für jene speciellere gelten. 
Zerlegt man nun U*+-Y” in seine Faktoren ersten Grades, so hat man 
(U+HM)(UraV) (Ura'V)...(Ure'V) = Ela) (2 —a— a)” WW. 
Die A Faktoren von der Form U+ «a F haben hier alle den gemeinschaft- 
lichen Faktor 1 — «; denn da das Produkt derselben diesen Faktor enthält, 
so mufs wenigstens eine der complexen Zahlen U + a Y/ denselben enthal- 
ten, und aus der identischen Gleichung 
UV = ULF Hl — )V 
ersieht man, dafs wenn U-+ «a Y durch ı — « theilbar ist, auch jede andere 
Zahl U + « F durch ı — « theilbar sein mufs. Der Faktor ı — « ist auch 
der gröfste gemeinschaftliche Faktor aller dieser complexen Zahlen; denn 
aus den beiden identischen Gleichungen 
(UH+-«&V)— (Ur V) = (ad —a)V 
und«(U+«VF)— «(U+-«F) = (d —a)U 
folgt unmittelbar, dafs der gröfste gemeinschaftliche Faktor von U+ «VW 
und U + «' V zugleich auch gemeinschaftlicher Faktor von (« — «')Y/ und 
(«@ — «')U sein mufs, und weil U und Y keinen gemeinschaftlichen Faktor 
haben, dafs « — a’, oder was dasselbe ist, ı — « der gröfste gemeinschaft- 
liche Faktor ist. Ferner folgt leicht, dafs nur eine der complexen Zahlen 
U + « V den Faktor ı — a mehrmals enthalten kann, und zwar nur die 
erste, nämlich U+ Y, denn setzt man 
U+«V/=o, mod. (1 — ae)’ 
so hat man, wenn «@ in «"' verwandelt wird, wobei U und / unverändert 
bleiben und auch der Modul (1 — «')" derselbe ist als (1 — a)”, 
Ura’V =o, mod. (ı — a) 
welche beide Congruenzen zugleich nur für den einen Werth r = 0 bestehen 
können. Da nun das Produkt aller A Faktoren von der Form U+«V 
den Faktor 2— a— «”' genau mA mal, also den Faktor ı —« genau 2mA mal 
