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aller verschiedenen in WW, enthaltenen Primfaktoren, und zwar einfach durch 
den Nachweis, dafs IV, nothwendig weniger verschiedene ideale Primfakto- 
ren enthalten mufs als W. Dies ergiebt sich sehr leicht aus den beiden 
Gleichungen (A) und (B), aus welchen man zunächst 
W = T(e) ®, («) 9, («) 9; («) ..... 0,_ı(«) 
hat. Weil nun die complexen Zahlen T(«), © ,(«), ©,(«) .... je zwei rela- 
tive Primzahlen sind, so folgt dafs T(«) nur in dem einen Falle, alle ver- 
schiedenen idealen Primfaktoren des // enthalten kann, wenn die A— ı com- 
plexen Zahlen ®,(«), ©,(«) .... ©,_,(«) alle nur complexe Einheiten sind, 
oder was dasselbe ist, wenn 
U+-«F 
A 
eine complexe Einheit ist, für alle Werthe desr= 1, 2, 3, ...%—1. Wegen 
der allgemeinen Eigenschaft aller complexen Einheiten, nach welcher E(«) = 
«* E(«”') ist, müfste also sein 
U+ra«aV ar (U+H-aV) 
1— « 73 1— a7 
oder wenn man diese Gleichung vereinfacht: 
Tu Hd) HI), 
und weil nach der Gleichung (B), U+F= 0, mod. A ist, so müfste 
1+a*— ( +ea)=o, mod.‘ 
sein, oder 
((—- a) —a)=0, mod.‘, 
welches unmöglich ist, wenn man von dem einen Falle A = 3 absieht, denn 
k = o kann nicht Statt haben, weil sonst U+ = 0 sein müfste. Also 
T(«) enthält weniger verschiedene ideale Primfaktoren in sich als W, und 
weil W, = T(«)’ ist, so enthält /W, nur alle verschiedene Primfaktoren des 
T(«), also weniger als /, was zu beweisen war. In der unendlichen Reihe 
von Gleichungen, welche die vorgegebene Gleichung nach sich zieht, müfste 
also in der Reihe der complexen Zahlen FW, W,, W,, W, und so fort in’s 
unendliche jede folgende eine kleinere Anzahl idealer Primfaktoren enthalten 
als die vorhergehende, es müfste also, weil die in W enthaltene Anzahl idea- 
ler Primfaktoren eine endliche ist, eine von dieser Zahl anfangende unend- 
liche Reihe absoluter ganzer Zahlen geben, in welcher jede folgende kleiner 
als die vorhergehende wäre, welches unmöglich ist. 
