DES SDRFACES. 13 



symétrie de nos relations, ce principe est général, il en résulte 



(2, 0, l) - - (0, 1, 2) = (1, 2, 0) zr - ('J, 0, 1), 



OU bien (2, o, i) rr o 



Or (2, 0, 1) n'est autre chose que la seconde courbure géo- 

 désique au point M de la courbe Si tracée sur la surface p ; cette 

 courbure géodésique est donc nulle pour le point M, et comme 

 en donnant des valeurs couvenables au paramètre p, le même 

 résultat s'appliquerait à la courbe S|, elle est donc une ligne de 

 courbure de la surface p; on voit de même qu'elle l'est aussi de 

 la surface p2, et les courbes S et S.2 fournissent les mêmes consé- 

 quences. C'est en cela que consiste le théorème de M. Dupin. La 

 démonstration présentée ici ne diffère pas au fond de la démons- 

 tration géométrique donnée par M. 0. Bonnet dans le trente- 

 deuxième cahier du Journal de l'Ecole polytechnique, 



7. — Dans un Mémoire étendu qui fait partie du tome V 

 du Journal de Mathématiques, M. Lamé est parvenu à des 

 relations très-curieuses entre les rayons de courbure principaux 

 de trois surfaces orthogonales. Ces relations , qui ont été aussi 

 l'objet de travaux intéressants de la part de MM. J. Bertrand et 

 0. Bonnet, résultent assez simplement des formules (7) du n° 1. 



Je désigne par c et y les courbures principales de la surface p 

 au point M , par ci et y j, c et y.2 les quantités analogues pour 

 les surfaces pi et-p^. (Dans le Mémoire de M. Lamé, ces lettres 

 désignent les rayons de courbure eux-mêmes et non pas les 

 courbures.) Il suit du théorème de M. Dupin et des équations (7) 

 qu'on a les relations suivantes : 



W 5;:=-'"=" S^ = -'.Y.. 



1 «1> I d>> 1 



IdlT^ — '2C2, ^ = — l2y2. 

 Les deux premières équations donnent toutes les autres par la 



