l2 THÉORIE ANALYTIQUE 



et remarquant que le mulliplicaleur de cosa sina s'annule , on 



1 M . ,• un 1 I cos *a . sin *a 



lombe sur 1 équation d Euler, ^= -^ h -^—• 



6. — Considérons maintenant trois systèmes de surfaces 

 orthogonales données par les équations 



f(x, y, z)= p. f. (",7, z)=:e. , f.(x, y, z) = p,. 



Soit M un point commun à trois de ces surfaces qui répondent 

 à de certaines valeurs des paramètres p, pi, p2. Les droites 

 L, Li, Li, respectivement normales et passant en M, ont leurs 

 directions définies par les cosinus 1, m, n, li, uii, ni, I2, ma, n^, 

 et ces quantités satisfont à des relations bien connues , qu'il est 

 nécessaire de se rappeler pour ce qui va suivre. S, Si, S^ dési- 

 gnent les courbes dont les tangentes sont respectivement L, Lj, Lj. 

 Nous emploierons la notation abrégée (2, 0, 1) pour désigner le 



trinôme I2 — + nia ^7 + "2 57- » la lettre 1 , qui n'a pas d'in- 

 dice au numérateur, étant supposée avoir l'indice zéro. Pareille- 

 ment le symbole (1 , 0,2) représente ij - — h nii i^î- + ni ^ , 



u û 2 1482 j 



et l'on comprendrait de même le sens des symboles (1, 2, 0), 

 (2, 0, 1), etc. Or, on a trouvé (n° 4, éq. 40), pour le cas de 

 deux courbes orthogonales tracées sur une surface, 



(2,0, 1) = (1,02); 

 d'ailleurs, de l'équation 1 li + m mi + n ni = , on tire 



I d' , dm , dn /idl, , dm , , dn,\ 



Il — 4- m, — + ni — = — ( 1-^+ m- hn-^l, 



c'est -à-dire 



(1,0, 2) r=— (0,1, 2), 



et par suite 



(2, 0,1) = — (0, 1,2). 



Cette dernière équation exprime que si, dans le symbole 

 (2, 1), le premier indice devient le dernier, l'expression ne fait 

 que changer de signe, et non de valeur ; et comme, à cause de la 



