DES SURFACES. 11 



Il résulle de là 



/tr\\ 1 <1' . dra , dn i dl , , dm . du 



^ ds, ds, ds, ds, ds, U», 



et par conséquent e^ = — e,. C'est là un théorème démontré 

 par M. Bertrand dans son intéressant Mémoire sur la théorie 

 des surfaces. 



Si les lignes S| et S2 sont les lignes de courbure correspondant 

 au point M, on a les équations 



(11) 



Rj et Rj étant les rayons de courbure principaux répondant au 

 point M. 



5. — Le théorème d'Euler découle sans peine de nos for- 

 mules. Concevons, en effet, parle point M et sur la surface, 

 une courbe 2 dont la tangente (k, p., v) fait un angle a avec la 

 droite (1,, m,, n,,) tangente à la courbe S|. Si de est l'arc infini- 

 ment pris sur celte courbe à partir de M, on a 



/IG>\ ^ dl dm , da 1 



^ ' da ' da dd p ' 



p étant le rayon de courbure de la section normale menée par la 

 tangente à la courbe 2. D'ailleurs, du théorème connu des pro- 

 jections résultent les formules 



IX z:: 1 , cosa -)- ' > sina , 

 urr m, cosa -\- m, sin«, 

 V rr n, cosa -(- n, sina. 



Or, en tenant compte des équations (13) et (11), on trouve 



dl dl - , dl . dl dl „^^ , dl . 

 da ds dy ^ dz ds, ds, 

 1, cosa K sina 



"~ r: ^r7~' 



et deux équations semblables pour ^ , ^. 



'T da ' da 



Substituant ces valeurs et celles de l, a, v dans l'équalion (12), 



