10 THÉOlUfc; ANALYTIQUE 



courbure géodésique, dénomination indiquée déjà par M. Liouville. 

 Il y aurait peut-être quelque utilité à introrfuire dans les calculs 

 le rayon de cette courbure, comme aussi le rayon de l'espèce 

 nouvelle de courbure que représente — . 



Pour les lignes de courbure, on a ^ =r o, et par suite 

 u — dô :=: o; la seconde courbure géodésique est donc nulle 

 pour ces lignes. L'égalité u = dô a été démontrée par M. Liouville 

 d'une manière géométrique; elle renferme des théorèmes connus 

 de Jacobi et de M. Joachimstal sur les lignes de courbures planes. 



4. — Soit S2 une autre courbe passant en M, orthogonale 

 avec S,, et £2 sa deuxième courbure géodésique, £) étant celle de 

 la courbe S,; la direction de la perpendiculaire au plan qui 

 contient la tangente à celle nouvelle courbe et la normale L, 

 fait avec les axes des angles dont les cosinus sonl respectivement 

 — Il , -- nii , — ni , et par suite 



I Hl _ dm dn 



— Il m. n. — = e,. 



' ds. ' ds, ' ds, ^ 



Or, il est facile de voir que les trinômes 



I2 7- + ma r h n2 -— et ^ ;j h m, — - + n, — ■ 



ds, ds, ds , ds, ds , a», 



sont identiques. En effet, rappelons-nous l'observation faite au 

 commencement du n° 2 , et retranchons les deux expressions 

 l'une de l'autre. Si l'on n'écrit pas les termes qui se détruisent ^ 

 manifestement, il n'est pas nécessaire de développer toutes les 

 expressions —, —, etc., pour reconnaître que la différence 

 cherchée se réduit à 



(r, - ^) ('. ™^ - ■». 1^) + (t. - ^) (™- "^ - "• '") 



ce qui revient à \ 



G7-S"+r^-l)'+(.T-i)"'. 



et, par conséquent, est nul, à cause de l'identilé (2). 



