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Hieraus folgt, daß v* ein Minimum, d. h., daß die mittlere quadratische 
Abweichung der Varianten von irgendeinem andern, als dem Mittelwert 
der Reihe, z. B. von A + d, stets größer ist, als v?, denn es ist 
1 = /(T 2 2 2 
— 3 (V [A + Ad) = v-+d”. 
n 
Auf dieser Eigenschaft der Hauptabweichung, ein Minimum zu sein, 
beruht ihre besondere Bedeutung als Maß der Variabilität gegenüber der 
durchsehnittlichen, der wahrscheinlichen Abweichung usw. 
Die durch Untersuchung erhaltene Variationsreihe eines Merkmals 
stellt naturgemäß nur eine Stichprobe aus der sehr viel größeren Gesamt- 
menge existierender Individuen der Formengemeinschaft dar. Die aus 
ihr ermittelten Durchschnittswerte sind daher den wahren Durchsehnitts- 
werten der Gesamtheit gegenüber als fehlerhaft anzusehen. Die Zuver- 
lässigkeit eines empirischen Durchschnittswertes steigt einerseits mit der 
Anzahl der Beobachtungen, aus denen er gewonnen ist, andererseits sinkt 
sie bei zunehmender Variabilität dieser Beobachtungen. Denkt man sich 
die Bestimmung eines Durchschnittswertes, etwa von 4, aus je n Beob- 
achtungen so häufig wiederholt, wie die Gesamtmenge existierender 
Individuen dies zuläßt, so ist der wahrscheinliche Fehler desselben, 
hier also + E (4), diejenige Abweichung von seinem wahren Betrag, 
innerhalb deren Grenzen sich die Hälfte aller für A aus je n Beobachtungen 
bestimmten Einzelwerte halten würden, während die andere Hälfte außer- 
halb dieser Grenzen läge. 
Der wahrscheinliche Fehler des arithmetischen Mittels einer Variations- 
reihe ist 
he Ä \ Di 
E (4A. = ——, 
N 
wo die numerische Konstante 4 = 0,67449; derjenige ihrer Haupt- 
abweichung angenähert') 
Av 
Kom : 
V2n 
Die Angabe eines Durchschnittswertes ohne seinen wahrscheinlichen 
Fehler ist statistisch unvollständig. 
DAR ri 
urn n? (V—4) 
) Exakt: Ew) = — / Rt A = — gi 
