216 MÉMOIRES PRÉSENTÉS À L'ACADÉMIE 
Pour les deux diagonales, comme elles font (par conftruc- 
tion) deux progreflions continues, qui ont l'une & l'autre 
pour terme moyen, il eft clair que leur, fomme refpetive 
eft ce terme moyen multiplié par le nombre des termes ou 
(m.a). 
XXIX. Pour déterminer le nombre de variations dont 
cette efpèce de quarrés eft fufceptible, fans perdre la difpo- 
fition magique, il faut confidérer que le terme moyen devant 
néceflairement refler au centre, les deux bandes de diférent 
nom, auxquelles il appartient, c'eft-à-dire celles qui forment 
la croixs ne peuvent fe déplacer: mais d'ailleurs, comme 
dans toutes les quadrilles chaque terme a fon complément 
dans la cafe qui lui eft oppofée centralement, les bandes laté- 
rales, tant horizontales que verticales, peuvent (20) fubir 
entr'elles tous les déplacemens poffibles, fous la fimple condi- 
tion que la’ correlpondance foit confervée. 
IL fuit que la formule cherchée, eft [2. 4... {a —1})]°, 
c'eft-à-dire la même que pour les quarrés pairement pairs, 
fi ce n'eft que à eft ici change en (a — 1) ; & Vappliquant 
à notre exemple, on trouve ( 2. 4. 6) —(48)" = 2304. 
On ne compte point pour variations réelles, les quatre 
fituations qu'on pourroit donner au quarré , en le faifant tourner 
fur fon centre par quatre quarts de converfion fuccefñifs & 
dirigés dans le même fens, parce que par-là fa difpofition 
intérieure ne change point, & qu'on ne fait que rapporter {es 
différentes faces à différens points extérieurs. 
OBSERVATION fur les Mérhodes précédentes à 
fur les Démonffrations qui y font relatives. 
XXX. Les unes & les autres font telles, que fi, pour 
remplir le quarré, au-lieu d'une progreffion arithmétique , 
on fait choix d'une progreffion géométrique, foit continue, 
foit interrompue, fous Ja condition prefcrite, elles auront 
également lieu, pourvü qu'on ait égard à f'analogie du produit 
& de fomme, d’expofant & de diflérence, &c. e. par exemple, 
repréfentera le produit des extrêmes de la fuite ; le Ms 
un 
