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des huit termes qu'emploie la feconde formule, cinq font 
pris dans la première clafie & trois dans la feconde : le nombre 
des termes reflans, eft donc, de part & d'autre, /a — 5 ); 
mais {a — ?) eft évidemment le nombre refpectif de cafes 
vuides que laïfle en chaque bande la première opération, 
felon qu'il s'agit d'enceintes impaires où paires. Le premier 
article eft donc pleinement démontré. 
Le fecond ne peut faire de difficulté, car chaque terme 
de chaque claffe faifant avec fon complément une fomme 
— e — 2m, il eft clair que la fomme des termes de la 
claffe entière eft / 2m), pris autant de fois qu'il s'y trouve 
de termes. 
Le troifième n’en fera pas davantage, dès qu'on aura prouvé 
que les termes reftans dans chaque claffe, font entreux, en 
proportion, pris 1 à 1 quand ils ne font que 4, 2 à 2 quand 
ils font 8, 3 à 3 quand ils font 12, &c. car alors leurs 
complémens y feront aufli. La fomme des extrêmes de Ia 
première de ces deux proportions, jointe à celle des moyens 
de la feconde, fera donc la moitié précife de la claffe entière; 
mais ce font ces deux fommes que la feconde opération fait 
pafler en chaque bande conjuguée ; elle y mettra donc la moi- 
tié précife de chaque claffe, &, par une fuite, le terme moyen 
pris autant de fois qu’il y refte de cafes vuides. 
Or, pour reconnoître que les termes reftans en chaque 
claffe font en effet entr'eux en proportion, il fuffit de jeter 
un coup d'œil fur la lifte des deux dernières enceintes, & 
de remarquer le rang qu'y tiennent les termes qu’en emprunte 
la première opération. On a déjà averti qu'ils y étoient mar- 
qués d'une croix. 
Ce font, quant à la premiére clafle, les deux extrêmes & 
celui du milieu, quand l'enceinte eft impaire ; & quand elle 
eft paire, ces trois mêmes termes, & de plus les deux qui 
font, d’un & d'autre côté, à diftance égale de celui du milieu 
& de l'extrême voifin. Ces trois ou ces cinq termes appar- 
tiennent à une progreffion (36); & par le rang qu'ils y 
tiennent, ils font eux-mêmes entr'eux en progreffion. lis 
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