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d'abord, & qu'on préfère d'autant plus volontiers à toute 

 autre, quêtant multipliée par a, le produit fe trouve égal 

 au radical du numérateur de l'élément de l'arc ASY. 



On aura par la propriété de l'ellipfê (CY) 1 -+- (CT) 1 

 — (CA) Z h- (CFJ 1 ; d'où l'on tire (CY)'- — a» 

 H- bb — nn. La propriété de l'ellipfê & le triangle 

 rectangle CRY, donneront encore aa -+- bb — //* 



2 abbx — bbxx -+• aaxx — i a'* -f- «+ r 



■ / par confequent 



aa 



aV(aa-nn) „ \ .. r 



; dou il luit que 1 élément de 



-»Vi 



l'arc ASY aura pour transformée — , 



V(a a — nn) . y ' (nn — bb) 



L'arc A -l'étant égal à l'arc BY fupplément de l'arc ASY, 



x J 



» Ion élément aura pour expreflion . 



r * V(aa — *n).V(nn — bb) 



Enfin les triangles fèmblables CZH, CVP, donnent 

 CZ (n) : CV (a) : : CH : CP = ^L : mais par la 



propriété de l'ellipfê , C H = — — — — '— ; donc 



/"r> aaV(nn — b!<) „ . D . aaV(m — bb) , 



LP=. 6tAP(i/J — a - i; donc 



en l ' en ' 



Z tZ I 



l'élément de l'arc AS aura pour valeur — 



n'Vfaa — nn) .Y (nn — bb) 



Maintenant , fi le théorème efr. vrai , il faut que le 

 premier élément moins la fomme faite du fécond & du 



double du troifième , c'eft-à-dire, ~ 1 " ~*~ * - — 



n-V(aa — nn).Y(nn—bb) 

 — 1 n du -\~ 2 a b n dn c . ..-., 



ou — — ; ; — -, 7T7~ > loit une Qirrereiicielle exac- 



Vfaa — nn) . V(nn — bb) 



tement intégrable. Suppofons donc que cette quantité ait pour 

 intégrale pn q Y(aa — un) . Y(nn — bb), plkq étant deux 

 indéterminées; en différenciant cette expreffion , l'on trouvera 



— (pf -t- 2p )n l **An ■+ ■ (aapij -+- blpq -\-aap -+- &bp)n1 + 't/n — a' b'pqn1~'dn 

 V(aa — nn) . Vfnn — bb) 



Rr ij 



