316 MÉMOIRES PRÉSENTÉS A L'ACADÉMIE 

 comparons cette différentielle avec la propofée 



— m' dn-\-z a* b* n~' An „ , , r 



, &. nous trouverons par la comparailon 



yf( aa — nn).T/(«n — bb) l r 



des deux premiers termes pq -H 2/1 — 2, q -+- 3=2; 



ce qui donne p =■ 2 , q ■=. 1 . .Mettant ces valeurs 



dans les deux autres termes du numérateur de la première 

 différentielle, le fécond s'évanouit, & le troiiième devient 

 îû' b~ ii~ 1 ' dn, qui eft précisaient le dernier terme du nu- 

 mérateur de la féconde différentielle; d'où je conclus que 



... , . , — n' An ■+- m' b' n~* An „ ii> ' (aa — rw).i/(m — b>>) 



1 intégrale de — — — -r- ett . 



Je n'ajoute point de coudante, parce que l'intégrale s'évanouit 

 lorfque « =z a ou b, ainli que cela doit arriver, c. Q. F. D, 



Corollaire I. 



Si de l'extrémité X du diamètre YX, on abaifîè fur 

 ie demi -diamètre CZ la perpendiculaire XQ, la différence 

 des arcs YFZS, SAX, fera égale à 2 CQ : car on a, par la 



propriété de l'ellipfe, XQ = — ; donc CQ = Y[(CX) X . 

 _ (XQ)-] = V(aa -+-U— nn — ^L ) 



Vfaaitn -+- bbnn — n* — aabb) Vfna — un) . V (un — bbl 



' • — ^ ^ __ — — —~— ^^^— — ^^— ^— — , 



n H 



Corollaire II. 



Nous venons de trouver YFZS — SAX =z 2 C Q , 

 & comme il eft vif ible qu'on a aufli Y FZ S -+- SA Xzrz 

 3.AZF, il s'enfuit que YFZS = AZF -+- CQ & 

 SAX = AZF — CQ.- ainfi l'aie YFZS furpaffe le 

 quart d'elliple A Z F de la quantité algébrique CQ, &. l'arc 

 SAX e(t furpaflé par le quart d'elliple de la même quantité 

 CQ; ce qui efl une propriété très -remarquable. 



Cette propriété peut fê démontrer d'une manière direéle; 

 car l'élément de l'arc YFZS étant égal à la différence des 

 élémens des deux arcs AS Y, AS, il fera repréfenté par 



