328 MÉMOIRES PRÉSENTÉS A l'AcADÉMIE 



Solution. 



On fait que toute quantité différencielfe rationelfe dépen- 

 dante de la quadrature de l'hyperbole , peut toujours le réduire 



... r ± t v "d* 'Jx 



en quantités de cette forme * a A. ■ 



b -+- c x f-+- ht 



—I— Sec. d X étant la différencielle d'une fonction algébrique 

 dex; a , b, c, &c. des confiantes; & que lorfqu'elle dépend 

 de la quadrature du cercle, elle peut toujours le réduire en 



quantités de cette forme , dX-+- rr. ~. -+- — H— Sec. 



bb-\-XX 



ce -\-xx 



Dans le premier cas , l'intégrale eft X -\ l(b *+- ex) 



JL I(f-+- hx) — ±l(b-+- cm) — y !(f-h- hm) —M 



ou X— M -+- //i±if ) ^ /p4* ) x &c. m étant 



( b-+-cm/ (f-hAm/ 



une confiante telle que lorfque xzrzm l'intégrale foit féro, 

 & M ce que devient X lorfque x = m. 



Pans le fécond cas, fi on fait b-\~x Y — 1 =Z & T=- — » 



a 



e H— x Y — t = Z & Z z=z ~ > on ti'ouve que l'intégrale eft 



Jb-\-xV- 



X—M 



b — m / — 1 



zby'—i 



xV—i b 



-mV- 



zeV — 1 



* M. Jean Bcrnoulii eft le premier 

 qui ait démontré que toute fraction 

 rationelle différencielle dépend , pour 

 fon intégration , de la quadrature du 

 cercle ou de l'hyperbole ; mais fa dé- 

 monftration fuppofoit que tout mul- 

 tinome réel pût fe décompofer au 

 moins en facteurs trinômes réels. Les 

 preuves qu'on donnoit alors de cette 

 dernière proportion étoient appuyées 

 fur une autre fuppofition qu'il n'étoit 

 pas moins difficile de prouver, favoir, 

 que toute quantité imaginaire, de 



quelque degré qu'elle lut, pût toujours 

 fe réduire à la forme A ■+- B V — 1, 

 A & B étant des quantités réelles. 

 M . d'A lembert a démontré le premier 

 ces deux propofitions , & a par ce 

 moyen donné, tant à la démonftration 

 de M. Bernoulli qu'à celle de plu- 

 fieurs théorèmes d'Algèbre, le degré 

 d'évidence qu'on a droit d'exiger en 

 Mathématique. C'eft ce qu'on peqt 

 voir dans les Mémoires de l'Aca- 

 démie de Berlin de 174.6. 



