34° MÉMOIRES PRÉSENTÉS A L'ACADÉMIE 

 en fournifïènt aufîî une infinité, dans un nombre infini Je 

 courbes dont la quadrature ou rectification ne dépend ni de la 

 quadrature du cercle ou de l'hyperbole , ni de la rectification 

 des feétions coniques , ou du moins n'y peuvent être réduites 

 par les méthodes jufqu'ici connues. Nous avons fait l'appli- 

 cation des deux premiers à l'ellipfè & à l'hyperbole ; le troi- 

 fième peut aufîï s'appliquer à l'hyperbole rapportée à fon fécond 

 axe : nous allons voir maintenant quelques applications du 

 dernier aux arcs reclifiables de paraboles de difTérens génies. 



Applications du dernier Théorème. 



±o u R donner une idée de l'étendue des formules que 

 nous venons de voir , je prendrai un cas fort fimple & qui 

 renferme néanmoins une infinité de courbes, dans lefïjuelles 

 on peut géométriquement déterminer une infinité d'arcs 

 reclifiables. 



Suppofons , i.° r — i = \, eh — f— aj ' z=z o; ce 

 qui rendra les deux difTérencielles précédentes de la forme 

 Kx~^ m ~'dx V(l-t-hx 2 "'J, en forte que, fuivant le Théo- 

 rème précédent, on aura /À* — 2 '"~ 'dx Y(l -+- lix*"') -+- 



JKz-^-'dzYïl+l'z'") —Ax- l -' n (l-+-h.S")i 

 -4- Q, Q étant une confiante. Or on fiit que lorfque ~m H— i 



efi un multiple de zm, l'intégrale de Kx~ 1 - m ~'dx Y(I -+- Lx" ) 

 efr. compofée d'une fonclion algébrique de x Se d'une quantité 

 de la forme HdxY(l-\- hx' m ) ; donc dans celte hypothèfe 

 on aura généralement 



fHAx Y(l -+- h .v 2 7 h- fHJi Y(l -h h z 2 '") = X -+- Q , 

 X marquant une fonclion de x. 



Pour trouver maintenant les courbes dans le/quelles cette 

 équation donne des arcs intégrables , fuppofons donc — 3- m 

 — 1 ^z. 2-tm, t étant un nombre entier, on aura m := 



