342 MÉMOIRES PRÉSENTÉS A l'AcADÉMIE 



Première Remarque. 

 Si on fait en général r = — , p étant un nombre impair 



pofitif, on trouvera par un raifônnement femblabie, que l'on 

 peut déterminer des arcs reclifiables dans toutes les paraboles 



dont l'équation efï, v m Mx ± 4-' +/' . Mais avec un 

 peu d'attention l'on verra que cette équation n'en 1 pas plus 

 générale que les deux que nous avons données ci-delîlis ; car 

 p étant un nombre impair, ~+~ 4/ -4— p l'eft auffi : or, 

 quelle que foit la valeur de ~tz 4-t -+- p, il y aura toujours 

 un nombre entier à fubfh'tuer à t, ou dans dt 4? -t- 1 , 

 ou dans ztz 4/ -+- 3 , lequel produira le nombre iuppofé 

 reprélenté par dtz 4 1 -j- p. 



Deuxième Remarque. 



On peut encore parvenir par une autre voie à trouver des 

 quantités différencielles qui n'étant point intégrables par elles- 

 mêmes, le foient néanmoins avec des quantités de même forme 

 qu'elles. Par exemple, foit gx" dx (a -+- bx" -h ex"'") 1 ', 

 û on fait x m z=z. — s- & K = — , on aura une différen- 



cielle de même forme toutes les fois que /; fera zzr — mp — 1 , 

 avec cette feule différence qu'elle lèra négative ; donc toutes 

 les fois que // =zz — mp 1 , on a 



fgx* dx (a h- bx'" -t- cx lè y +ftfJtf* ■+■ h? H- cf m )' = A, 



(A étant une confiante). Mais nous avons vu dans le dernier 

 Théorème que p étant r= r — 1 , la fomme de deux pareilles 

 quantités étoit intégrable, fi l'expofant de x hors du figneétoit 



r m 1 , c'eft- à - dire — mp — m 1 ; donc 



gx n dx (a-\-bx m -\- cx im ) p eft intégrable avec une quantité 

 de même forme, lorfque n = — mp — 1 , & lorfque 11 = 



— mp — m — 1 . 



