über den Krümmungs- Schwerpwikt ebener Curven. 21 



selbst an ('). Jetzt werden sie sich auf verschiedene Arten leicht beweisen 

 lassen. Hier geschieht es auf geometrischem Wege, durch blofs elementare 

 Betrachtung und zudem meist ohne Voraussetzung der erforderlichen, ander- 

 weitig bekannten, Hülfssätze. Nämlich die Betrachtung nimmt, der Haupt- 

 sache nach, folgenden Gang. 



Zuerst werden aus einem einfachen Fundamentalsatze die wesentlich- 

 sten Eigenschaften des Punkts der mittleren Entfernung oder des Schwer- 

 punkts eines Systems gegebener Punkte entwickelt. Sodann wendet sich die 

 Betrachtung zu den Fufspunkten -Vielecken V in Bezug auf ein gegebenes 

 Vieleck 35, wobei die wichtigsten Resultate auf jene Eigenschaften des 

 Schwerpunkts sich stützen. Diese Resultate gelten zugleich auch für die 

 Fufspunkten - Curven V in Bezug auf eine gegebene Curve 25, was unmittel- 

 bar folgt, wenn man jenes Vieleck 33 in eine Curve übergehen läfst, d. h. 

 wenn man die Zahl seiner Seiten unendlich grofs (wie man zu sagen pflegt) 

 und jede Seite unendlich klein werden läfst. Nun wird weiter das Vieleck 

 2) auf einer festen Geraden rollend fortbewegt und dabei die von den mit 

 ihm verbundenen Punkten P beschriebenen Figuren TV betrachtet: so fin- 

 det man, dafs auch hiei'bei die Hauptresultate sich gleicherweise auf jene 

 Eigenschaften des Schwerpunkts gründen, und dafs dieselben auch dann 

 noch bestehen, wenn das rollende Vieleck in eine Curve 33 übergeht. End- 

 lich läfst man das Vieleck 23 auf einem festen Vielecke U rollen, wobei sich 

 wiederum analoge Resultate ergeben, welche auch fortbestehen, wenn die 

 Vielecke in Curven 23 und U übergehen. In diesem letzten Falle gelangt 

 man zu den allgemeinsten Resultaten (§. XXXHI.); sie umfassen gewisser- 

 mafsen alle vorhergehenden und gestatten aufserdem noch zahh-eiche andere 

 spezielle Folgerungen (§. XXXIV.); auch führen sie unmittelbar zur Qua- 

 dratur vieler Curven, wie z. B. der verschiedenartigen Cykloiden, des Rau- 

 mes zwischen parallelen Curven, u. s. w. 



Zu diesem Gange der Betrachtung gaben folgende speziellen Sätze 

 den ersten Anlafs. 



In den Gergonne'schen Annales de Mathem. tom. XIV. p.280, 286. 

 wurde nämlich zuerst von Querret und Sturm der Satz bewiesen: 



(') Die obigen Aufgaben habe ich Im Journal für Mathe m. Bd. XIV. S. 88. zur Lösung 

 vorgelegt und dabei zugleich eiuige der eben erwähnten Resultate angedeutet. 



