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Vom Punkte der mittleren Entfernung. 



§. I. 



Fundamentalsatz. „Zieht man aus di'ei beliebigen Punk- 

 ten A, M, B (flg. 1.) einer Geraden AB nach irgend einer anderen 

 Geraden X parallele Strahlen AC = a, MN = m, BD = b in be- 

 liebiger Richtung, so ist, wenn man AB = b, und ÄIB = c, setzt: 



1. ö, a-i- 6, 6 = (a,-|-Ä,)/rt 



Denn zieht man die Gerade BC, welche MN in E schneidet, so ist 

 vermöge der parallelen Strahlen : 



ME'.a = a^ :ö,-4-6, und ENlb = b, :a,+b, 



woraus, da 3IE + EN=3IN, jene Gleichung (1.) folgt. 

 Es ist hierbei noch folgendes zu bemerken. 



a) Der Satz findet für alle Fälle statt, mögen die Punkte A, M, B auf 

 derselben oder auf verschiedenen Seiten der Gei-aden X liegen. Nur sind 

 Im letzteren Falle die auf verschiedenen Seiten der Geraden X liegenden 

 Strahlen ö, m, b als einander entgegengesetzt, die einen als positiv die an- 

 dern als negativ, anzusehen. Dieser Gegensatz kann entweder unmittelbar 

 in der Figur beobachtet, oder in der Gleichung durch die Zeichen -+- und 

 — angedeutet werden. Hier soll er fortan in der Figur berücksichtigt und 

 also z. B. bei (fig. 2.), statt der Gleichung b^b — a^a ■= {a^-\- b,)m, welche 

 jenen Zeichen gemäfs, ebenfalls die obige Gleichung (1.) geschrieben werden. 



b) Geht insbesondere die Gerade X durch den Punkt M, so ist m = o, 



imd daher 



2. a^a + b,b = o 



c) Da der Satz von dem Winkel, unter welchem die parallelen Sti-ahlen 

 a, m und b gegen die Gerade X geneigt sind, unabhängig ist, indem er bei 

 jeder Gröfse dieses Winkels auf ganz gleiche Weise statt findet: so soll fortan, 

 der Einfachheit wegen, dieser Winkel stets ein rechter sein. (Bei einigen 

 späteren Sätzen ist übrigens nur dieser Fall allein zulässig ; andere dagegen 

 würden einen beliebigen Winkel gestatten und dadurch etwas allgemeiner 

 erscheinen, was indessen unerheblich ist.) 



