über den Krümmungs-SchweT-punht ebener Cun'en. 25 



§.n. 



Sind a und ß beliebige gleichartige Gröfsen oder Zahlen und ist 



3. a'.ß ^ a^ :5,, 



so läfst sich dadurch die obige Gleichung (1.) in folgende umwandeln: 



4. aa + ßb =■ (a,-^ ß)in 



Werden die Punkte A, B als fest und die Gröfsen a, ß als ihnen zu- 

 geordnete gegebene positive Coefficienten angenommen, so schliefst man aus 

 dieser Gleichung (4.) nachstehende Sätze : 



a, Sind in einer Ebene zwei Punkte A, B nebst zugehörigen Coefficienten 

 (t, ß gegeben und sollen die aus den Punkten auf jede beliebige Gerade X 

 gefällten Perpendikel a, b mit den respectiven Coefficienten multiplicirt wer- 

 den: so kann man statt der Summe beider Producte (aa-h ßb) stets ein ein- 

 zelnes Product ((« + /3)7ra), aus der Summe der Coefficienten in das Perpen- 

 dikel aus einem dritten bestimmten Punkte 31 nehmen. Dieser dritte Punkt 

 liegt in der Geraden AB und theilt sie in Abschnitte, die sich umgekehrt 

 verhalten, wie die ihren Endpunkten zugeordneten Coefficienten (3.). 



b, Soll die Summe der Producte aa + ßb constant, etwa = 1c sein, so 



dafs: 



5. a a -4- /3 6 = (a -H /3) 771 = Ä, 



so ist auch das Perpendikel m constant, so dafs sowohl der Ort seines Fufs- 

 punktes N, als der Ort der Geraden X eine bestimmte Kreislinie ist, welche 

 ü/zura Mittelpunkte hat; (d. h. die Gerade X ist in allen ihren Lagen stets 

 Tangente des Kreises). 



c, Ist insbesondere k = o, also : 



aa + ßb =1 o, 



so ist auch 777 = o, d.h. so geht die Gerade X durch den festen Punkt M; 

 und auch umgekehrt. 



§. III. 



„Sind in einer Ebene irgend eine Anzahl 77 beliebige Punkte 



A, B, C, D, nebst zugehörigen (positiven) Coefficienten 



a, ß, y, ^, gegeben, so giebt es allemal einen anderen be- 



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