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stimmten Punkt S von der Beschaffenheit, dafs wenn man aus 

 allen genannten Punkten auf jede beliebige Gerade XPerpendi- 

 kel a, b, c, d, und s fället, dann immer die Gleichung 



6. aa + ßb + yc + ^d + = (a + /3-|-'y + <J+ )s 



statt findet." 



Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich leicht durch wiederholte An- 

 wendung des obigen Satzes (§. 11, a.), nämlich wie folgt. 



Es seien zunächst nur drei Punkte A, B, C gegeben. In der Geraden 

 AB construire man den Punkt 31, für welchen AM: MB = /3 : a, so kann 

 man in Rücksicht jeder Geraden X statt aa-t-ßb stets {a-i-ß)m nehmen. 

 Nun suche man ferner in der Geraden ßlC den Punkt N, für welchen 

 MN'.NC =z y:ci-\-ß, so ist in Rücksicht jeder Geraden X: 



(a + /3) m + y c = {a + ß + y)n 

 und mithin 



aa + ßb -i-yc =1 (a + ß -i-y)n 



was dem Satze gemäfs, indem der gefundene Punkt N und das aus ihm auf 

 X gefällte Perpendikel n beziehlich die Stelle von S und s vei'treteu. 



Wäre noch ein vierter Punkt D gegeben : so ziehe man die Gerade 

 ND und nehme in ihr den Punkt P so, dafs NP'.PD = ^:a + /3 + y, so 

 hat man für jede Gerade X: 



(a + /3 + y)/i + ^c? = (jx + ß + y-\-^)p 

 und folglich 



aa + ßb + yc + ^d=. {a + ß + y + ^)p 



was wiederum dem Satze genügt, indem P und p die Stelle von iS" und * 

 einnehmen. 



Es ist klar, dafs man ähnlicherweise zur Bestätigung des Satzes gelangt, 

 wenn 5, 6, 7, n Punkte gegeben sind, und dafs durch dieses Verfah- 

 ren nicht nur die Existenz des eigenthümlichen Punktes S erwiesen, sondern 

 dieser auch zugleich gefunden wird. 



§.IV. 



Vermöge der eben bewiesenen Eigenschaft heifst der Punkt S „Punkt 

 der mittleren Entfernung" in Rücksicht auf die gegebenen Punkte A, 



