übej' den Krümmungs - Schwerpunkt ebener Curven. 27 



B, C, und deren Coefficienten a, ß, y, Er ist, wie man sieht, 



identisch mit dem Schwerpunkte der gegebenen Punkte, wenn diese mit Ge- 

 wichten belastet sind, die sich verhalten, wie jene Coefficienten, oder — 

 was auf dasselbe hinauskommt — identisch mit dem Mittelpunkte paralleler 

 Kräfte, welche nach beliebiger Richtung auf die gegebenen Punkte wirken 

 und sich verhalten, wie die respectiven Coefficienten. Der Kürze halber 

 mag daher der Punkt S fortan ebenfalls Schwerpunkt genannt werden, 

 ohne dabei an die statische Eigenschaft zu denken. 



Dafs die Bedingungen des vorstehenden Satzes (§. III.) nur von einem 

 einzigen Punkte S erfüllt werden können, geht aus dem Beweise selbst klar 

 hervor, kann aber auch wie folgt indirect bewiesen werden. Denn ange- 

 nommen es gäbe noch einen andern Punkt S^ von gleicher Beschaffenheit, 

 so müfste, in Bezug auf jede Gerade X: 



aa + ßb + yc+ = {a-i-ß + y+ )s = (a + ß + y+ )*, 



und mithin stets s^ ^ s sein, und daher müfste immer die Gerade 195", mit 

 X parallel sein, was unmöglich ist, da X jede beliebige Richtung haben 



kann. Also: „Ein gegebenes System von Punkten A, B, C, 



und zugehörigen Coefficienten a, ß, y, hat nur einen einzi- 

 gen Punkt der mittleren Entfernung, oder nur einen bestimmten 

 Schwerpunkt ^S"." 



Daher mufs man durch die obige Construction (§. III.) auch allemal zu 

 dem nämlichen Punkte S gelangen, man mag die gegebenen Punkte in wel- 

 cher Ordnung auf einander folgen lassen, als man will; (d. h. man kann z. B. 

 bei drei gegebenen Punkten A, B, C, zuerst A und B, wie oben, oder zu- 

 erst A und C, oder B und C verbinden imd ihren Schwerpunkt (Dl) suchen, 

 u. s. w.). Es folgt daraus unmittelbar eine Reihe von Sätzen über geradli- 

 nige Vielecke (Dreieck, Viereck, Fünfeck, . . .), welche durch die jedesma- 

 ligen gegebenen Punkte bestimmt werden. Diese Sätze werde ich an einem 

 anderen Orte ausführlich entwickeln; hier würden sie zu weit von dem 

 eigentlichen Zwecke ablenken. 



§. V. 



Soll die Summe der Producte aus den Perpendikeln in die zugehöri- 

 gen Coefficienten einen gegebenen oder constanten Werth k haben, soll also 



D2 



