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7. aa + ßb + yc+ = (a + /3 + y+ )s z=k 



sein, so ist der Ort der Geraden X eine Kreislinie, welche allemal S zum 

 Mittelpunkte hat. Der Radius s dieses Kreises ändert sich mit der Summe 

 k zugleich, und zwar wird er in directem Verhältnifs mit ihr kleiner oder 

 gröfser. 



Ist insbesondere k = o, also 



8. aa-i-ßb-hyc+ = (« + /3 + 74- )s = o, 



so ist auch s = o, d. h. so geht die Gerade X stets durch den Schwerpunkt 

 S; und umgekehrt, geht X durch S, so ist jene Summe = o. 



Aus diesem besondei-en Falle eigeben sich weiter nachstehende Fol- 

 gerungen. 



§.VT. 



Zieht man aus dem Punkte ^S* nach den gegebenen Punkten A, B, C, 



Strahlen (Gerade) a,, b„ c,, und bezeichnet die Winkel, welche 



diese Strahlen mit der (durch ^S" gehenden) Geraden X, nach einerlei Rich- 

 tung genommen, bilden, durch a, h, (, , so hat man : 



9. a = a, sin a ; S = S, sin b ; c = c, sin c ; etc. 



Werden diese Werthe der Perpendikel a, 6, c .... in die obige Glei- 

 chung (8.) gesetzt, so erhält man folgende neue Gleichung: 



10. aa, sin a + ßb, s'mh + yc, sin c -H = o, 



welche in Worten ausgedrückt heifst : 



„Der Schwerpunkt »S von beliebigen gegebenen Punkten 

 A, B, C, .... und zugehörigen Coefficienten a, /3, «y, .... hat die 

 Eigenschaft, dafs, wenn man die Sinus der Winkel a, i, c, ...., 

 welche die aus ihm nach jenen Punkten gezogenen Strahlen a,, b,, 

 c,, ... mit jeder beliebigen Geraden X bilden, mit den respecti- 

 ven Strahlen und Coefficienten multiplicirt, dafs dann die 

 Summe dieser Producte allemal gleich Null ist." 



Der Satz findet gleicherweise statt, wenn an die Stelle der Sinus die 

 Cosinus der nämlichen Winkel gesetzt werden, was unmittelbar folgt, wenn 

 man gleichzeitig zwei Gerade X, welche zu einander senkrecht sind, betrach- 

 tet. Also ist auch 



