über den Krümmungs-Schwej-punld ebener Curven. 29 



11. aa, cos a-i-ßb^ cos b + yc, cos c+ = o. 



Diese neue Eigenschaft des Punktes S hat bekanntlich ebenfalls sta- 

 tische Bedeutung, nämlich : wenn Kräfte in den Richtungen der Strahlen 



a,, b,, c,, auf den Punkt S wirken und sich verhalten wie die respec- 



tiven Producte aa,, ßb,, yc,, , so findet Gleichgewicht statt. 



§.VII. 



Zieht man ferner aus irgend einem Punkte P der durch S gehenden 

 beliebigen Geraden X nach den gegebenen Punkten A, B, C, Strah- 

 len a, b, c, (die oben durch diese Buchstaben bezeichneten Perpen- 

 dikel kommen hier nicht in Betracht, es kann also keine Verwechslung ent- 

 stehen), so hat man vermöge der Dreiecke ASP, BSP, CSP, , wenn 



PS = s gesetzt wird : 



12. a^ = a^-j-*^ — 2sa, cosa; b^=b\+s' — 2*5,cosb;c'=c^H-** — 2*c, cosc; etc. 



Werden diese Gleichungen beziehlich mit den Coefficienten a,ß,y, — 

 multiplicirt und sodann addirt, so kommt : 



13. aa^+ßb^+yc'^-i- = aa'-i-ßb'^-hyc-,+ 



+ {a + ß+y+ )*'' 



— 2s{aa, cosa-hßb, cosb + yc, cosc + ) 



und mithin, zufolge der Gleichung (H.)- 



14. aa'^+/36''-f-yc'-t- = aa; +/35^ + yc^ + + (a + /3 + y -{-....)*% 



oder in abkürzenden Zeichen : 



15. S(aa') = 2; («<) + *' S(a). 

 Das heifst : 



a. „Sind in einer Ebene irgend eine Anzahl beliebige Punkte 



A, B, C, mit zugehörigen Coefficienten a, ß, y, gege- 

 ben, und man zieht aus einem beliebig gewählten Punkte P (oder 

 S) nach jenen Punkten Strahlen a, b, c, .... (oder 0,, 6,, c,, ... .), 

 multiplicirt deren Quadrate mit den respectiven Coefficienten: 

 so ist die Summe der Producte dann ein Minimum, wenn der an- 

 genommene Punkt der Schwerpunkt S der gegebenen Punkte ist. 

 Ist er aber irgend ein anderer Punkt P, so ist die ihm entspre- 



