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chende Summe ^(aa') um das (ci+ß+y-i- ) fache Quadrat 



seines Abstandes s vom Schwerpunkte S gröfser, als jenes Mini- 

 mum 2(aa^)." Daher folgt weiter: 



b. „Soll die genannte Summe der Producte constant, etwa 

 = 2 sein, sodafs2(aa^) + j*2(a) = 2, so ist der Ort des Punktes 

 P eine Kreislinie, welche allemal ^9 zum Mittelpunkt und s zum 

 Radius hat." Und umgekehrt: „Punkten P, welche gleich weit von 

 ^entfernt sind, entsprechen gleiche Summen." Und ferner: „Die 

 Summe 2 und der Radius s ändern sich gleichzeitig, und zwar 

 nehmen sie zugleich zu oder ab. 



Hiernach hat der Punkt S die dritte wesentliche Eigenschaft : dafs er 

 der Punkt kleinster Quadrate der Entfernungen in Rücksicht der 

 gegebenen Punkte und Coefficienten ist (*). 



(') Aus der obigen Gleichung (i5.) — welche auf gleiche Weise stattfindet, die gegebe- 

 nen Punkte ■^, B, C, .... mögen in einer Ebene oder im Räume beliebig liegen — folgen leicht 

 noch einige andere Relationen, wie z.B. die nachstehenden. 



L'afst man den willkührllchen Punkt P mit einem der gegebenen n Punkte -^i B, C, . . . . , 



z. B. mit A zusammenfallen, so ist a = o, b = AB, c ^ AC, d ^ AD, , s z^ a , = 



AS und die obige Gleichung (l5.) wird für diesen Fall: 



I. ß.(ABy + y(ACy-i-h(ADy- + = 5(«af) + °? '^C«). 



Für jeden der gegebenen /» Punkte findet eine analoge Gleichung statt. Wird jede dieser Glei- 

 chungen mit dem dem jedesmaligen Punkte A, B, C, zugehörigen Coefficienten a, ,ö, 7,.... 



multiplizirt und werden sodann alle Gleichungen addirt, so kommt: 



II. X[aß. (AB) 2] = 2 («) • i (« « ? ). 



d. h.: „Wird das Quadrat jeder der y"(" — Geraden, welche die gegebenen «Punkte paar- 

 weise verbinden, in die dem jedesmaligen Punktenpaar zugehörigen Coefficienten multiplizirt, 

 so ist die Summe aller dieser Producte X[^ctß(ABy-^ gleich einem Producte, dessen einer Fak- 

 tor die Summe der Coefficienten 2(«), und der andere die Summe der Producte 2(«a;) aus 

 den Quadraten der Abstände der gegebenen Punkte von ihrem Schwerpunkte Sin die respec- 

 tiven Coefficienten ist." 



Wird die Gleichung (II.) mit der obigen (15.) verbunden und die Gröfse 2(rtaf) fort- 

 geschafft, so erhält man : 



III. S'X(ct) = FS («) . i (cta"-) — X [aß {ABy\ 



Diese Gleichung durch — («) dividirt giebt den Abstand s des willkührllchen Punkts P 

 von dem Schwerpunkte S; ein Ausdruck welchen Lagrange zuerst aufgestellt und auf elgen- 

 ihümliche (doch nicht einfache) Art bewiesen hat (Mechan. anal/t. 1. 1. sect. III. No. 20.). Denkt 



