über den Kj-ümmungs- Schwerpunld ebener Curveji. 31 



§. vnr. 



Zu der vorstehenden Reihe von Sätzen kann man auch durch eine 

 andere elementare Entwickelung gelangen, welche sich auf einen eben so 

 einfachen Fundamentalsatz gründet, als die vorige (§. I.). Die Sätze folgen 

 dann in umgekehrter Ordnung auf einander, so dafs man zunächst auf die 

 eben ausgesprochenen Resultate (§.VII.) geführt wird und sofort umgekehrt 

 aus diesen die ihnen vorangehenden Sätze herleiten kann. Für Liebhaber 



man nach den Richtungen der Strahlen a, b, c, . . . Kräfte aa, ßb, yc, . . . -wirkend, so giebt, wie 

 leicht zu sehen, die vorstehende Gleichung (III.) die Gröfse der Resultate s'X(a), und zwar 

 hat sie die Richtung des Strahles s, so dafs sie also jedesmal durch den Schwerpunkt S geht. 

 Demnach wird sowohl jener Abstand s als diese Resultante j2(«) gefunden, sobald die Ab- 

 stände der «Punkte ^, i?, C, von einander und von dem Punkte P nebst den zugehörigen 



Coefficienten a, ß, y, .... gegeben sind. 



Für jeden der n Punkte ^, B, C, findet eine Gleichung von der Form (I.) statt. Wer- 

 den diese «Gleichungen addirt, so erhält man: 



IV. :S[«-|-/3)(^J?)2] = „.2(«a?)H-S(«).2(a?); 



d.h.: „Wird das Quadrat des Abstandes je zweier der gegebenen «Punkte ^, j5, C, mit 



der Summe der den beiden Punkten zugehörigen Coefficienten multiplizirt, so ist die Summe 

 der Producte, 2 [(«-{- /3)« (^2?)"], gleich der «fachen Summe der Producte aus den Quadraten 

 der Abstände (a^, d,, c,, ) der gegebenen Punkte von ihrem Schwerpunkte .y in die zu- 

 gehörigen Coefficienten, «2(aaf), mehr dem Producte aus der Summe der Coefficienten in 

 die Summe der letztgenannten Quadrate, i(«)«2(a?)." 



Aus (n.) und (IV.) die Gröfse S(«aj) eliminirt giebt: 



V. 2(a'f).(2(«))= = Xicc).X[_(a + ß)(ABy-\- n.Xlaß(AByi 



woraus z. R. die Summe der Quadrate 2 (a?) der Abstände des Schwerpunkts S von den n Punk- 

 ten A, B, C, gefunden wird, wenn diese Punkte mit den zugehörigen Coefficienten «, ß, 



y, .... gegeben sind. 



Für den besondern Fall, wo die Coefficienten einander gleich, also cc = ß ^ y = 



= 1 gesetzt werden kann, reduziren sich die Gleichungen (11, HI. u. IV.) auf folgende: 



VI. Xi^iB)" =n'X(a1), 



welche zeigt: „dafs die «fache Summe der Quadrate der Strahlen a,, 6j, c,, . .., die den 



Schwerpunkt S mit den gegebenen Punkten A, B, C, verbinden, gleich ist der Summe 



der Quadrate der Abstände dieser letztern Punkte von einander." — Dieser Satz, auf regel- 

 mäfsige Vielecke angewandt, giebt unmittelbar einige bekannte Sätze. Analoge Sätze folgen 

 aus ihm über regelmäfsige Polyeder. 



Unter derselben Reschränkung reduzirt sich die Gleichung (HI.) auf folgende : 



VII. {n^sy- =n.X{a^) — %{ABy. 



