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aa'+ßb' + yc' = {ct + ß + y)n' + (a+ß + y) M]V']VC+(a+ß)AM.3IB, 



was dem Satze gemäfs, da die zwei letzten Glieder rechts constant sind. Der 

 Punkt i\^ liegt nämlich in der Geraden 3IC und wird gerade ebenso bestimmt, 

 wie in dem obigen entsprechenden Falle (§. III.); n ist der Stiahl, welcher 

 ihn mit dem unbestimmten Punkte P verbindet. 



Gleicherweise gelangt man nun — auf den vorstehenden Fall für drei 

 Punkte gestützt — zum Beweise des Satzes für vier gegebene Punkte; u.s.w. 



Aus dem vorstehenden Satze ergeben sich ferner folgende : 



b. „Soll die Summe der Producta aa" + ßb^ +yc'^ -h — constant, 

 etwa = 2 sein, so dafs 



21. aa' + ßb' + yc' + =X = {a+ß + y + )s'+fc, 



so ist der Ort des Punktes P eine Kreislinie, welche stets den 

 festen Punkt S zum Mittelpunkte (und * zum Radius) hat. Die 

 Summe 2 und der Radius s des Kreises nehmen gleichzeitig zu 

 oder ab." Daher folgt weiter: 



c. „Die Summe 2 wird ein Minimum, wenn « = o, d. h. wenn P 

 auf -S fällt. Also entspricht — unter allen Punkten der Ebene — 

 dem Punkte S die kleinste Summe, und zwar ist für diesen Fall 



22. 2 = aö^ + /35^ + 7c-; + =k, 



wo «,, Ä,, c,, die Strahlen sind, welche ^Smit den gegebenen 



Punkten^, B, C, verbinden (§. VI.), und wodurch die Con- 



stante k auf eine zweite Art bestimmt wird." 



§. XII. 



Wie man sieht, sind wir auf diesem neuen Wege zu denselben Sätzen 

 gelangt, welche sich in (§. VII.) befinden. Die den letzteren vorangehen- 

 den Sätze kann man nun, wie schon erwähnt worden (§. VIII.), umgekehrt 

 aus den vorstehenden leicht ei-halten. 



Ferner lassen sich aus der gegenwärtigen Betrachtung unmittelbar eine 

 grofse Reihe von Sätzen über die geradlinigen Vielecke und über den Ki-eis 

 entwickeln, welche von den früher erwähnten (§. IV.) verschieden sind, zum 

 Theil jedoch denselben, als in gewissem Sinne ihnen entsprechend, zur Seite 

 gestellt werden können. Diese Sätze sind wegen ihrer Einfachheit und des 



