über den Krümmungs - Schwerpunld ebener Curven. 37 



festePunktiSist; nämlich er istder Schwerpunkt der Ecken des 

 gegebenen Vielecks, wenn denselben die Sinus der doppelten 

 Nebenwinkel der anliegenden Vieleckswinkel als Coefficienten 

 zugeordnet werden." 



Es sei etwa ABCD (fig. 4.) das gegebene Vieleck, und aus einem be- 

 liebigen Punkte P seien auf die Seiten desselben die Perpendikel P^,, Pß,, 

 PC,, PD ^ gefällt, so dafs A^B^C^D^ das dem Punkte entsprechende ver- 

 änderliche Fufspimkten -Vieleck K ist. Werden die veränderlichen Strahlen 

 PA, PB, PC, PD, welche den Punkt P mit den festen Ecken des gegebe- 

 nen Vielecks verbinden, durch a, b, c, d, und ferner die Nebenwinkel der 

 Vieleckswinkel DAB, ABC, .... durch A, B, C, D bezeichnet : so hat 

 man vermöge der constanten (und theils rechten) Winkel der Vierecke 

 AD, PA,, BA,PB,, . . . . , zwischen dem Inhalte dieser Vierecke und dem 

 der correspondirenden Dreiecke D,PA,, A,PB„ ... folgende Gleichungen: 



i2D,PA, — AD, PA, = -f a= sin 2A, 

 2A,PB, —BA,PB, =-^b'sm2B, 

 2B,PC, —CB,PC, =\c^sin2C, 

 2C,PD, —DC,PD, = Id' sin 2D 



Wird bemerkt, dafs die in diesen Gleichungen enthaltenen Dreiecke 

 zusammen das Vieleck A,B,C,D, ausmachen, imd dafs ebenso die darin 

 vorkommenden Vierecke das Vieleck ABCD zur Summe haben, so folgt 

 dafs: 



25. 2A,B,C,D,—ABCD — ^{a'' mi.2A-\-b''sm2B+c''sin2C+d^s\n2D). 



Es ist klar, dafs man allemal eine ähnliche Gleichung erhält, mag das 

 gegebene Vieleck so viele Seiten haben, als man will. Daher ist allgemein, 

 wenn der Inhalt des gegebenen Vielecks durch 2) und der des Fufspunkten- 

 Vielecks durch V bezeichnet wird : 



26. 4(2^—2}) = a^ &\n2A + b^ sm2B-\-c^ sin2C+d^ sin2D + 



= 2(a'sin2^). 



Durch diese Gleichung wird die Richtigkeit des Satzes vollständig dar- 

 gethan. Denn soll der Inhalt V constant sein, so ist es auch die Differenz 

 2F— 25, und dann stimmt die Gleichung mit der früheren {§.XI, 21.) oder 

 mit (§. VII, 15.) überein, indem die gegebenen Gröfsen sin 2^, sin2J5, sin2C, 



