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die Stelle der dortigen Coefficienten a, ß, y, vertreten, so dafs 



also auch im gegenwärtigen Falle der Ort des Punktes P eine Kreislinie sein 

 mufs, welche stets den im Satze beschriebenen Schwerpunkt S zum Mittel- 

 punkte hat. 



§. XVI. 



Um den aufgestellten Satz ausführlicher zu erörtern, werde die letzte 

 Gleichung (26.) nach Anweisung des (§.VII.) umgewandelt. Man erhält: 



27. 4(2/^'— SS) =: a^sin2^-t-6^sin2ß + c^sin2C+ 



+ s' (sin 2A + sin 2J5+sin 2C+ ), 



= 2(a^sin2^)+.s^2(sin2^), 



wo nämlich a^, Ä,, c,, und * die Strahlen sind, welche den Schwer- 

 punkt S mit den gegebenen Punkten (Ecken) A, B, C, und dem will- 



kührlichen Punkte P verbinden. 



Bezeichnet man das Fufspunkten -Vieleck, welches dem Punkte S ent- 

 spricht, so wie den Inhalt desselben, durch v, so ist für diesen Fall, da * = o: 



28. 4(2v — S5) = 2(a'sin2^). 



Wird diese Gleichung von der vorigen (27.) abgezogen, so kommt: 



29. 4(F— v) = 4-*'.2(sin2^). 



Hieraus sieht man: „dafs die Inhalts-Zunahme des Fufspunkten- 

 Vielecks ^ mit dem Quadrate des Abstandes s des zugehörigen 

 Punktes P vom Schwerpunkte S in gleichem Verhältnisse wächst 

 oder schwindet." Ferner folgt daraus: 



„Dafs der Inhalt v des Fufspunkten-Vielecks, welches dem 

 Schwerpunkte S entspricht, im Allgemeinen, ein Minimum oder 

 Maximum ist, je nachdem die constante Gröfse 5(sin2^) bezieh- 

 lich positiv oder negativ ist. 



Ob aber diese Gröfse 2 (sin 2^) positiv oder negativ sei, hängt von 



folgenden Umständen ab. Nämlich: 1) sind die Winkel A, B, C, 



alle spitz, so ist die Gröfse offenbar positiv, und dann findet also ein Mini- 

 mum statt. 2) Sind dagegen von den genannten Winkeln einige stumpf, so 

 kann jene Gröfse möglicherweise negativ werden, wo dann das 3Jaximum 

 eintritt. Dieser letzte Fall kann besonders eintreten, wenn das gegebene 



