über den Krümmungs-Schwerpunlü ebener Curven. 39 



Vieleck 25 ein nicht convexes ist ; er kann aber auch bei convexen Vielecken 

 stattfinden ; und tritt insbesondere beim Dreieck (wo von den drei Winkeln 

 A, B und C mindestens zwei stumpf sind) immer ein. 



Wenn insbesondere 5 (sin 2.^) = o, so findet weder ein Minimum 

 noch ein Maximum statt, sondern in diesem Falle ist der Inhalt des Fufs- 

 punkten -Vielecks 7^ für alle Punkte P gleich oder constant. 



Für spätere Untersuchungen ist es zweckmäfsig, die Bedeutung des 

 Ausdrucks 



30. -^s^X(sm2A) = 4-*^*sin2^ + -^*^«sin2ß + ^5".sin2C+ , 



welcher die vierfache Differenz zwischen den Inhalten der Fufspimkten -Viel- 

 ecke eines beliebigen Punktes P und des Punktes .^ repräsentirt (29.), näher 

 anzugeben. Wir beschränken uns dabei auf den bestimmten Fall, wo das 

 gegebene Vieleck 25 convex und wo (dessen Nebenwinkel d. i.) die Winkel 



A, B, C, sämmtlich spitz sind. In diesem Falle ist bekanntlich die 



Summe dieser Winkel = 277, und daher 



31. 2A + 2B-\-2C-i- =477 



Wird bemerkt, dafs 4^*^ «sin 2^ den Inhalt eines gleichschenkligen 

 Dreiecks ausdrückt, dessen Schenkel = s, und dessen Winkel an der Spitze 

 = 2A ist, so folgt, dafs der Ausdruck -^s^ »X{s,m2A) die Summe von n 

 gleichschenkligen Dreiecken ist, deren Schenkel alle =: s und deren Winkel 



an der Spitze beziehlich 2A, 2B, 2C, sind. Denkt man sich also ein 



Vieleck U von der Beschaffenheit, dafs es einem Kreise vom Radius s ein- 

 geschrieben und in demselben zwei Umläufe macht (*), dafs ferner die sei- 

 nen Seiten 2( , 23 , ß, gegenüberstehenden Centriwinkel beziehlich 



jenen Winkeln 2^, 2B, 2C, gleich (zusammen = 47r) sind : so ist der 



Inhalt dieses Vielecks offenbar die Summe der genannten Dreiecke. Denn 

 durch die nach den Ecken gehenden Radien wird es in der That in jene 

 Dreiecke zerlegt. Also ist: 



32. -I-«'. 2 (sin 2^) = C7, 



(') Leser, welche mit solchen Vielecken nicht vertraut sind, können sich davon einen Be- 

 griff machen, wenn sie z.B. bei einem beliebigen Fünfeck im Kreise die fünf Diagonalen in 

 einem Zuge ziehen — denn diese sind sofort die Seiten eines Fünfecks von zwei Umläufen. 



