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und daher hat man statt (29.): 



i(r-v)= U, 

 oder: 



33. r=v+^ü. 



Somit hat man für den gegenwärtigen Fall den folgenden Satz : 

 „Kennt man in Rücksicht eines gegebenen Vielecks 2) den 

 Inhalt rdesdem Schwerpunkte S entsprechendenFufspunkten- 

 Vielecks: so kann der Inhalt des Fvxfspunkten-Vielecks V jedes 

 anderen gegebenen Punktes P — wenn nur dessen Abstand ä von 

 dem Punkte S gegeben ist — dadurch gefunden werden, dafs 

 man zu jenem Inhalte v den vierten Theil des Inhaltes eines an- 

 deren bestimmten Vielecks Z7addirt. D ieses letztere Vieleck U 

 ist nämlich einem Kreise, der jenen Abstand s zum Radius hat, 

 eingeschrieben, macht in demselben zwei Umläufe, und über 

 seinen Seiten stehen Centriwinkel, welche den doppelten Ne- 

 benwinkeln des gegebenen Vielecks 35 beziehlich gleich sind." 



§. xvn. 



Anmerkung. Auch hier müssen zahlreiche spezielle Sätze, welche 

 sich unmittelbar aus dem Vorstehenden ableiten lassen, übergangen werden 

 (vergl. g.IV. u. §.Xn.). Nur folgende im Eingange angeführte Sätze aus 

 Ge r gönne 's Annalen über das beliebige Dreieck und über das regelmäfsige 

 Vieleck mögen hier Platz finden. 



1. Bei einem beliebigen gegebenen Dx-eieck S5 (oder ABC) kann leicht 

 direct nachgewiesen werden, dafs der Mittelpunkt des ihm umgeschriebenen 

 Kreises zugleich der Schweipunkt 6* der Ecken ist, wenn diesen die Sinus 

 der doppelten Nebenwinkel als Coefficienten zugeordnet sind. Dasselbe 

 kann aber auch aus dem obigen Satze (§.XV-XVI.) geschlossen werden. 

 Denn fällt der Punkt P mit einem der drei Eckpunkte A, B, C des Dreiecks 

 3> zusammen, so ist jedesmal der Inhalt des Fufspunkten- Dreiecks T'= o; 

 daher hegen die drei Punkte in einem Ortskreise, dessen Mittelpunkt der 

 genannte Schwerpunkt S sein mufs. Daraus schliefst man ferner den be- 

 kannten Satz: „Dafs, wenn aus irgend einem Pimkte P der Kreislinie, 

 welche einem beliebigen Dreiecke ABC umgeschrieben ist, auf die Seiten 

 des letzteren Perpendikel P^,, PB^, PC, gefället werden, dafs dann die 



